Tổ hợp và xác suất cổ điển

Tất cả các số: chữ số hàng nghìn khác $0$ nên có $5$ cách; ba chữ số còn lại chọn và xếp từ $5$ chữ số còn lại: $A_5^3 = 60$ cách. Có $5\cdot 60 = 300$ số.

Số chẵn — chia theo chữ số hàng đơn vị (quy tắc cộng):

• Hàng đơn vị là $0$: ba chữ số đầu là chỉnh hợp chập 3 của 5 chữ số còn lại: $A_5^3 = 60$ số.
• Hàng đơn vị là $2$ hoặc $4$ ($2$ cách): hàng nghìn khác $0$ và khác chữ số cuối ($4$ cách); hai chữ số giữa: $A_4^2 = 12$ cách. Có $2\cdot 4\cdot 12 = 96$ số.

Vậy có $60 + 96 = 156$ số chẵn.

a) Đếm phần bù: chọn 4 người bất kì có $C_{11}^4 = 330$ cách; chọn 4 người toàn nam có $C_6^4 = 15$ cách. Số cách có ít nhất một nữ: $330 - 15 = 315$.

b) Có 2 kiểu xen kẽ (nam ở ghế lẻ hoặc nữ ở ghế lẻ); mỗi kiểu xếp 3 nam vào 3 ghế có $3! = 6$ cách và 3 nữ vào 3 ghế có $3! = 6$ cách. Tổng: $2\cdot 6\cdot 6 = 72$ cách.

$n(\Omega) = C_{12}^2 = 66$. Gọi $A$: "tích là số chẵn"; khi đó $\overline{A}$: "cả hai số đều lẻ". Tập có 6 số lẻ nên ${n(\overline{A}) = C_6^2 = 15}$.

Gọi $A$, $B$ lần lượt là "An bắn trúng", "Bình bắn trúng"; $A$, $B$ độc lập nên $\overline{A}$, $\overline{B}$ cũng độc lập.

a) Đúng. $P(A \cap B) = 0{,}8\cdot 0{,}7 = 0{,}56$.

b) Sai. $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}2\cdot 0{,}3 = 0{,}06$.

c) Đúng. Biến cố đối của "ít nhất một viên trúng" là "không ai trúng": $1 - 0{,}06 = 0{,}94$.

d) Sai. "Đúng một người trúng" là hợp của hai biến cố xung khắc $A \cap \overline{B}$ và $\overline{A} \cap B$: ${0{,}8\cdot 0{,}3 + 0{,}2\cdot 0{,}7 = 0{,}24 + 0{,}14 = 0{,}38}$.

Mỗi vị trí có 10 cách chọn nên $n(\Omega) = 10^6$.

Mã có 6 chữ số đôi một khác nhau là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số: $n(A) = A_{10}^6 = 151\,200$.

Số hạng tổng quát: $C_5^k(2x)^{5 - k}(-1)^k$. Lũy thừa $x^3$ ứng với $5 - k = 3$, tức $k = 2$: hệ số là $C_5^2\cdot 2^3\cdot(-1)^2 = 10\cdot 8 = 80$.

Hai chức vụ khác nhau nên có thứ tự: $A_{30}^2 = 30\cdot 29 = 870$ cách.

$C_8^3 = \dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{3!} = 56$.

Biến cố đối là "cả ba lần ngửa", xác suất $\dfrac{1}{8}$. Vậy xác suất cần tìm là $1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$.

Số hạng chứa $x^2$: $C_4^2 x^2\cdot 3^2 = 54x^2$. Hệ số là $54$.

Coi A, B là một khối: xếp 4 "phần tử" có $4!$ cách, đổi chỗ A, B trong khối có $2$ cách. Xác suất $\dfrac{2\cdot 4!}{5!} = \dfrac{48}{120} = 0{,}4$.