Xác suất có điều kiện

Gọi $A$: "học sinh tham gia câu lạc bộ", $B$: "học sinh là nữ". Có $n(B) = 22$, $n(A) = 20$, ${n(A \cap B) = 12}$.

Hai kết quả khác nhau: "điều kiện" quyết định ta đếm trong nhóm nào.

Gọi $D_1$, $D_2$ lần lượt là "viên thứ nhất đỏ", "viên thứ hai đỏ".

a) $P(D_1 \cap D_2) = P(D_1)\cdot P(D_2 \mid D_1) = \dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{4}{7} = \dfrac{5}{14}$.

b) Xác suất toàn phần theo màu viên thứ nhất:

Kết quả bằng đúng xác suất viên thứ nhất đỏ — điều này hợp lí vì không biết viên thứ nhất thì hai lần lấy "bình đẳng" như nhau.

Gọi $B$: "sản phẩm do dây chuyền I sản xuất", $L$: "sản phẩm bị lỗi". Có $P(B) = 0{,}6$, $P(\overline{B}) = 0{,}4$, $P(L \mid B) = 0{,}03$, $P(L \mid \overline{B}) = 0{,}05$.

a) Đúng. $P(\overline{B}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$.

b) Đúng. $P(L) = 0{,}6\cdot 0{,}03 + 0{,}4\cdot 0{,}05 = 0{,}018 + 0{,}02 = 0{,}038$.

c) Sai. $P(B \cap L) = P(B)\cdot P(L \mid B) = 0{,}6\cdot 0{,}03 = 0{,}018$; số $0{,}03$ là xác suất có điều kiện $P(L \mid B)$.

d) Đúng. $P(\overline{B} \mid L) = \dfrac{0{,}02}{0{,}038} = \dfrac{10}{19} \approx 0{,}526 > 0{,}5$. Dù dây chuyền II làm ra ít sản phẩm hơn, tỉ lệ lỗi cao hơn khiến nó là "nghi phạm" chính.

Gọi $M$: "ngày có mưa", $D$: "ứng dụng dự báo có mưa". $P(M) = 0{,}3$, $P(D \mid M) = 0{,}9$, ${P(D \mid \overline{M}) = 0{,}2}$.

Xác suất toàn phần: $P(D) = 0{,}3\cdot 0{,}9 + 0{,}7\cdot 0{,}2 = 0{,}27 + 0{,}14 = 0{,}41$.

Bayes: $P(M \mid D) = \dfrac{0{,}27}{0{,}41} = \dfrac{27}{41} \approx 0{,}66$.

$P(A \mid B) = \dfrac{0{,}2}{0{,}4} = 0{,}5 = P(A)$, nên $A$ và $B$ độc lập (kiểm tra lại: $P(A)\cdot P(B) = 0{,}2 = P(A \cap B)$).

$P(A \cap B) = 0{,}3\cdot 0{,}6 = 0{,}18$.

Các kết quả có tổng $8$: $(2; 6)$, $(3; 5)$, $(4; 4)$, $(5; 3)$, $(6; 2)$ — gồm $5$ kết quả, trong đó $2$ kết quả có mặt 6. Xác suất $\dfrac{2}{5}$.

$P(A) = 0{,}2\cdot 0{,}5 + 0{,}8\cdot 0{,}1 = 0{,}18$; $P(B \mid A) = \dfrac{0{,}1}{0{,}18} = \dfrac{5}{9}$.