Ôn Thi Đại Họcby ToanKhonTech
Kiến thức trọng tâmLớp 11Lớp 12

Các số đặc trưng của mẫu số liệu ghép nhóm

Công thức số trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu ghép nhóm kèm ví dụ giải chi tiết.

Thống kê mẫu số liệu ghép nhóm gần như chắc chắn có 1 câu trong đề: thường ở phần I (tính một số đặc trưng từ bảng tần số), đôi khi ở phần II hoặc III (so sánh độ phân tán của hai mẫu, tính độ lệch chuẩn). Đây là dạng "tính đúng là có điểm": chỉ cần thuộc công thức, xác định đúng nhóm và cẩn thận khi bấm máy.

Kiến thức trọng tâm

Mẫu số liệu ghép nhóm

Mẫu được chia thành kk nhóm [a1;a2)[a_1; a_2), [a2;a3)[a_2; a_3), ..., [ak;ak+1)[a_k; a_{k+1}) với tần số m1,m2,…,mkm_1, m_2, \dots, m_k; cỡ mẫu n=m1+m2+⋯+mk{n = m_1 + m_2 + \dots + m_k}.

  • Giá trị đại diện của nhóm [ai;ai+1)[a_i; a_{i+1}) là trung điểm xi=ai+ai+12x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}.
  • Tần số tích lũy của nhóm thứ ii là cfi=m1+m2+⋯+micf_i = m_1 + m_2 + \dots + m_i.
  • Độ dài nhóm h=ai+1−aih = a_{i+1} - a_i (thường các nhóm có cùng độ dài).

Số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Số đặc trưng Công thức
Số trung bình xˉ=m1x1+m2x2+⋯+mkxkn\bar{x} = \dfrac{m_1x_1 + m_2x_2 + \dots + m_kx_k}{n}
Trung vị MeM_e Nhóm [ap;ap+1)[a_p; a_{p+1}) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy ≥n2\ge \dfrac{n}{2}: Me=ap+n2−cfp−1mp⋅hM_e = a_p + \dfrac{\frac{n}{2} - cf_{p-1}}{m_p}\cdot h
Tứ phân vị thứ nhất Q1Q_1 Như trung vị, thay n2\dfrac{n}{2} bằng n4\dfrac{n}{4}
Tứ phân vị thứ ba Q3Q_3 Như trung vị, thay n2\dfrac{n}{2} bằng 3n4\dfrac{3n}{4}
Mốt MoM_o Nhóm [aj;aj+1)[a_j; a_{j+1}) có tần số lớn nhất: Mo=aj+mj−mj−1(mj−mj−1)+(mj−mj+1)⋅hM_o = a_j + \dfrac{m_j - m_{j-1}}{(m_j - m_{j-1}) + (m_j - m_{j+1})}\cdot h

Trong công thức trung vị, cfp−1cf_{p-1} là tần số tích lũy của nhóm đứng trước nhóm chứa trung vị (cf0=0cf_0 = 0). Trong công thức mốt, nếu nhóm có tần số lớn nhất là nhóm đầu thì coi mj−1=0m_{j-1} = 0, là nhóm cuối thì coi mj+1=0m_{j+1} = 0. Tứ phân vị thứ hai Q2Q_2 chính là trung vị.

Số đặc trưng đo độ phân tán

Số đặc trưng Công thức và ý nghĩa
Khoảng biến thiên R=ak+1−a1R = a_{k+1} - a_1
Đơn giản nhưng phụ thuộc giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Khoảng tứ phân vị ΔQ=Q3−Q1\Delta_Q = Q_3 - Q_1
Độ phân tán của nửa giữa mẫu, ít bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường
Phương sai s2=m1(x1−xˉ)2+⋯+mk(xk−xˉ)2ns^2 = \dfrac{m_1(x_1 - \bar{x})^2 + \dots + m_k(x_k - \bar{x})^2}{n}
Trung bình bình phương độ lệch so với xˉ\bar{x}
Phương sai (dạng tính nhanh) s2=m1x12+⋯+mkxk2n−xˉ2s^2 = \dfrac{m_1x_1^2 + \dots + m_kx_k^2}{n} - \bar{x}^2
Dùng khi xˉ\bar{x} lẻ
Độ lệch chuẩn s=s2s = \sqrt{s^2}
Cùng đơn vị với số liệu; ss càng nhỏ, số liệu càng tập trung quanh xˉ\bar{x}

Dạng bài thường gặp trong đề thi

Các Dạng 1–3 dùng chung bảng số liệu sau (số liệu minh họa).

Quãng đường đi bộ mỗi ngày của 50 người tham gia một chương trình rèn luyện sức khỏe:

Quãng đường (km) [0;2)[0; 2) [2;4)[2; 4) [4;6)[4; 6) [6;8)[6; 8) [8;10)[8; 10)
Số người 5 12 18 10 5
Quãng đường đi bộ mỗi ngày (số liệu minh họa)05101520Số người[0; 2)[2; 4)[4; 6)[6; 8)[8; 10)51218105Số người
Biểu đồ tần số của mẫu ghép nhóm; nhóm [4;6)[4; 6) có tần số lớn nhất nên chứa mốt.

Dạng 1: Số trung bình, mốt, trung vị (phần I)

Xem lời giải

Giá trị đại diện: 11; 33; 55; 77; 99. Tần số tích lũy: 55; 1717; 3535; 4545; 5050.

Số trung bình: xˉ=5⋅1+12⋅3+18⋅5+10⋅7+5⋅950=24650=4,92\bar{x} = \dfrac{5\cdot 1 + 12\cdot 3 + 18\cdot 5 + 10\cdot 7 + 5\cdot 9}{50} = \dfrac{246}{50} = 4{,}92 (km).

Mốt: nhóm [4;6)[4; 6) có tần số lớn nhất (mj=18m_j = 18, mj−1=12m_{j-1} = 12, mj+1=10m_{j+1} = 10):

Mo=4+18−12(18−12)+(18−10)⋅2=4+67≈4,86.\begin{aligned} M_o &= 4 + \dfrac{18 - 12}{(18 - 12) + (18 - 10)}\cdot 2 \\ &= 4 + \dfrac{6}{7} \approx 4{,}86. \end{aligned}

Trung vị: n2=25\dfrac{n}{2} = 25; nhóm đầu tiên có tần số tích lũy ≥25\ge 25 là [4;6)[4; 6), nhóm trước có cf=17cf = 17:

Me=4+25−1718⋅2=449≈4,89.M_e = 4 + \dfrac{25 - 17}{18}\cdot 2 = \dfrac{44}{9} \approx 4{,}89.

Dạng 2: Tứ phân vị và khoảng tứ phân vị

Xem lời giải

n4=12,5\dfrac{n}{4} = 12{,}5: nhóm đầu tiên có tần số tích lũy ≥12,5\ge 12{,}5 là [2;4)[2; 4) (nhóm trước có cf=5cf = 5):

Q1=2+12,5−512⋅2=3,25.Q_1 = 2 + \dfrac{12{,}5 - 5}{12}\cdot 2 = 3{,}25.

3n4=37,5\dfrac{3n}{4} = 37{,}5: nhóm đầu tiên có tần số tích lũy ≥37,5\ge 37{,}5 là [6;8)[6; 8) (nhóm trước có cf=35cf = 35):

Q3=6+37,5−3510⋅2=6,5.Q_3 = 6 + \dfrac{37{,}5 - 35}{10}\cdot 2 = 6{,}5.

Vậy ΔQ=6,5−3,25=3,25\Delta_Q = 6{,}5 - 3{,}25 = 3{,}25 (km).

Dạng 3: Phương sai, độ lệch chuẩn — câu đúng/sai (phần II)

Xem lời giải

a) Đúng. 4+62=5\dfrac{4 + 6}{2} = 5.

b) Đúng. Đã tính ở Dạng 1.

c) Sai. Tần số tích lũy đến hết nhóm [4;6)[4; 6) là 35≥2535 \ge 25, nên trung vị thuộc nhóm [4;6)[4; 6).

d) Sai. 5⋅12+12⋅32+18⋅52+10⋅72+5⋅9250=145850=29,16\dfrac{5\cdot 1^2 + 12\cdot 3^2 + 18\cdot 5^2 + 10\cdot 7^2 + 5\cdot 9^2}{50} = \dfrac{1458}{50} = 29{,}16, nên

s2=29,16−4,922=4,9536,s≈2,23<2,5.\begin{aligned} s^2 &= 29{,}16 - 4{,}92^2 = 4{,}9536, \\ s &\approx 2{,}23 < 2{,}5. \end{aligned}

Dạng 4: So sánh độ phân tán của hai mẫu (phần III)

Xem lời giải

Giá trị đại diện: 155155; 165165; 175175.

Vườn A: xˉA=4⋅155+10⋅165+6⋅17520=166\bar{x}_A = \dfrac{4\cdot 155 + 10\cdot 165 + 6\cdot 175}{20} = 166;

sA2=4⋅(−11)2+10⋅(−1)2+6⋅9220=98020=49⇒sA=7.\begin{aligned} s_A^2 &= \dfrac{4\cdot(-11)^2 + 10\cdot(-1)^2 + 6\cdot 9^2}{20} \\ &= \dfrac{980}{20} = 49 \Rightarrow s_A = 7. \end{aligned}

Vườn B: xˉB=7⋅155+5⋅165+8⋅17520=165,5\bar{x}_B = \dfrac{7\cdot 155 + 5\cdot 165 + 8\cdot 175}{20} = 165{,}5;

sB2=7⋅(−10,5)2+5⋅(−0,5)2+8⋅9,5220=149520=74,75⇒sB≈8,6.\begin{aligned} s_B^2 &= \\ &\dfrac{7\cdot(-10{,}5)^2 + 5\cdot(-0{,}5)^2 + 8\cdot 9{,}5^2}{20} \\ &= \dfrac{1495}{20} = 74{,}75 \Rightarrow s_B \approx 8{,}6. \end{aligned}

sA<sBs_A < s_B nên cam vườn A đồng đều hơn.

Lỗi thường gặp

Mẹo làm bài

Tự kiểm tra nhanh

  1. Tìm giá trị đại diện của nhóm [12;16)[12; 16).
Xem đáp án

12+162=14\dfrac{12 + 16}{2} = 14.

  1. Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu quãng đường đi bộ ở trên.
Xem đáp án

R=10−0=10R = 10 - 0 = 10 (km).

  1. Tìm mốt của mẫu ghép nhóm có các nhóm [10;20)[10; 20), [20;30)[20; 30), [30;40)[30; 40), [40;50)[40; 50) với tần số lần lượt 33; 77; 1010; 55.
Xem đáp án

Nhóm [30;40)[30; 40) có tần số lớn nhất: Mo=30+10−7(10−7)+(10−5)⋅10=30+308=33,75M_o = 30 + \dfrac{10 - 7}{(10 - 7) + (10 - 5)}\cdot 10 = 30 + \dfrac{30}{8} = 33{,}75.

  1. Một mẫu ghép nhóm có phương sai s2=6,25s^2 = 6{,}25. Tính độ lệch chuẩn.
Xem đáp án

s=6,25=2,5s = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5.

  1. Vì sao khi mẫu có vài giá trị bất thường (quá lớn hoặc quá nhỏ), người ta thường dùng khoảng tứ phân vị thay cho khoảng biến thiên?
Xem đáp án

Khoảng biến thiên chỉ phụ thuộc hai đầu mút nên bị giá trị bất thường làm sai lệch mạnh; khoảng tứ phân vị đo độ phân tán của 50% số liệu ở giữa nên ít bị ảnh hưởng.

Kiểm tra lại kiến thức vừa ôn

Làm 10 câu luyện tập về các số đặc trưng của mẫu số liệu ghép nhóm và xem lời giải ngay sau mỗi câu.

Luyện tập ngay

Đề có câu hỏi về chủ đề này

ĐỀ SỐ 01Trung bìnhLàm thử miễn phí
Toán — Đề ôn luyện số 1

Đề bám sát cấu trúc đề thi tốt nghiệp 2025–2026: hàm phân thức có tiệm cận xiên, chuyển động tính bằng tích phân, tọa độ Oxyz với drone và mái che, xác suất có điều kiện qua bộ lọc thư rác, tối ưu chi phí và quy hoạch tuyến tính.

22 câu · 90 phút
ĐỀ SỐ 02Cơ bảnLàm thử miễn phí
Toán — Đề ôn luyện số 2

Đề cơ bản để làm quen cấu trúc đề thi: đọc đồ thị, cực trị và giá trị nhỏ nhất của hàm số, nguyên hàm – tích phân cơ bản, tọa độ trong phòng học, xác suất có điều kiện theo tỉ lệ phần trăm, cùng các bài toán thực tế ngắn về diện tích, tối ưu và sản xuất.

22 câu · 90 phút
ĐỀ SỐ 03Nâng caoLàm thử miễn phí
Toán — Đề ôn luyện số 3

Đề nâng cao, nhiều câu phân hóa: đọc đồ thị đạo hàm, hàm số mũ, hai xe đuổi nhau, bóng nắng trong Oxyz, xét nghiệm hai lần theo công thức Bayes, khoảng cách giữa hai đường chéo nhau, tối ưu máng nước và chi phí khẩu phần nhỏ nhất.

22 câu · 90 phút