Phương pháp tọa độ trong không gian (O x y z Oxyz O x y z
Kiến thức trọng tâm
Mặt phẳng
Vectơ n ⃗ ≠ 0 ⃗ \vec{n} \ne \vec{0} n = 0 ( P ) (P) ( P ) vectơ pháp tuyến của ( P ) (P) ( P ) a ⃗ \vec{a} a b ⃗ \vec{b} b ( P ) (P) ( P ) cặp vectơ chỉ phương ; khi đó n ⃗ = [ a ⃗ , b ⃗ ] \vec{n} = \left[\vec{a}, \vec{b}\right] n = [ a , b ]
Mặt phẳng qua M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) M_0(x_0; y_0; z_0) M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) n ⃗ = ( a ; b ; c ) \vec{n} = (a; b; c) n = ( a ; b ; c )
a ( x − x 0 ) + b ( y − y 0 ) + c ( z − z 0 ) = 0. a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0. a ( x − x 0 ) + b ( y − y 0 ) + c ( z − z 0 ) = 0.
Phương trình tổng quát a x + b y + c z + d = 0 ax + by + cz + d = 0 a x + b y + cz + d = 0 a 2 + b 2 + c 2 > 0 a^2 + b^2 + c^2 > 0 a 2 + b 2 + c 2 > 0 n ⃗ = ( a ; b ; c ) \vec{n} = (a; b; c) n = ( a ; b ; c )
Mặt phẳng cắt các trục tại ( m ; 0 ; 0 ) (m; 0; 0) ( m ; 0 ; 0 ) ( 0 ; n ; 0 ) (0; n; 0) ( 0 ; n ; 0 ) ( 0 ; 0 ; p ) (0; 0; p) ( 0 ; 0 ; p ) m n p ≠ 0 mnp \ne 0 mn p = 0 x m + y n + z p = 1 {\dfrac{x}{m} + \dfrac{y}{n} + \dfrac{z}{p} = 1} m x + n y + p z = 1
( P ) ∥ ( Q ) (P) \parallel (Q) ( P ) ∥ ( Q ) ( P ) ⊥ ( Q ) ⇔ n ⃗ P ⋅ n ⃗ Q = 0 {(P) \perp (Q) \Leftrightarrow \vec{n}_P\cdot\vec{n}_Q = 0} ( P ) ⊥ ( Q ) ⇔ n P ⋅ n Q = 0
Đường thẳng
Đường thẳng d d d M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) M_0(x_0; y_0; z_0) M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) u ⃗ = ( a ; b ; c ) \vec{u} = (a; b; c) u = ( a ; b ; c )
{ x = x 0 + a t y = y 0 + b t z = z 0 + c t ( t ∈ R ) . \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}). ⎩ ⎨ ⎧ x = x 0 + a t y = y 0 + b t z = z 0 + c t ( t ∈ R ) .
Phương trình chính tắc (khi a b c ≠ 0 abc \ne 0 ab c = 0
x − x 0 a = y − y 0 b = z − z 0 c . \dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b} = \dfrac{z - z_0}{c}. a x − x 0 = b y − y 0 = c z − z 0 . Vị trí tương đối của d 1 d_1 d 1 M 1 M_1 M 1 u ⃗ 1 \vec{u}_1 u 1 d 2 d_2 d 2 M 2 M_2 M 2 u ⃗ 2 \vec{u}_2 u 2
Trường hợp
Dấu hiệu
Song song hoặc trùng nhau
u ⃗ 1 \vec{u}_1 u 1 u ⃗ 2 \vec{u}_2 u 2 M 1 ∈ d 2 M_1 \in d_2 M 1 ∈ d 2
Cắt nhau
Không cùng phương, hệ phương trình tìm giao điểm có đúng một nghiệm
Chéo nhau
Không cùng phương và hệ vô nghiệm, tương đương [ u ⃗ 1 , u ⃗ 2 ] ⋅ M 1 M 2 → ≠ 0 \left[\vec{u}_1, \vec{u}_2\right]\cdot\overrightarrow{M_1M_2} \ne 0 [ u 1 , u 2 ] ⋅ M 1 M 2 = 0
Mặt cầu
Mặt cầu tâm I ( a ; b ; c ) I(a; b; c) I ( a ; b ; c ) R R R ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = R 2 (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = R 2
Phương trình x 2 + y 2 + z 2 − 2 a x − 2 b y − 2 c z + d = 0 x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 x 2 + y 2 + z 2 − 2 a x − 2 b y − 2 cz + d = 0 a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 a^2 + b^2 + c^2 - d > 0 a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 I ( a ; b ; c ) I(a; b; c) I ( a ; b ; c ) R = a 2 + b 2 + c 2 − d R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d} R = a 2 + b 2 + c 2 − d
Với h = d ( I , ( P ) ) h = d\left(I, (P)\right) h = d ( I , ( P ) ) h > R h > R h > R h = R h = R h = R ( P ) (P) ( P ) I I I ( P ) (P) ( P ) h < R h < R h < R r = R 2 − h 2 r = \sqrt{R^2 - h^2} r = R 2 − h 2
Góc và khoảng cách
Đại lượng
Công thức
Góc giữa hai đường thẳng
cos ( d 1 , d 2 ) = ∣ u ⃗ 1 ⋅ u ⃗ 2 ∣ ∣ u ⃗ 1 ∣ ⋅ ∣ u ⃗ 2 ∣ \cos(d_1, d_2) = \dfrac{\lvert\vec{u}_1\cdot\vec{u}_2\rvert}{\lvert\vec{u}_1\rvert\cdot\lvert\vec{u}_2\rvert} cos ( d 1 , d 2 ) = ∣ u 1 ∣ ⋅ ∣ u 2 ∣ ∣ u 1 ⋅ u 2 ∣
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
sin ( d , ( P ) ) = ∣ u ⃗ ⋅ n ⃗ ∣ ∣ u ⃗ ∣ ⋅ ∣ n ⃗ ∣ \sin\left(d, (P)\right) = \dfrac{\lvert\vec{u}\cdot\vec{n}\rvert}{\lvert\vec{u}\rvert\cdot\lvert\vec{n}\rvert} sin ( d , ( P ) ) = ∣ u ∣ ⋅ ∣ n ∣ ∣ u ⋅ n ∣
Góc giữa hai mặt phẳng
cos ( ( P ) , ( Q ) ) = ∣ n ⃗ P ⋅ n ⃗ Q ∣ ∣ n ⃗ P ∣ ⋅ ∣ n ⃗ Q ∣ \cos\left((P), (Q)\right) = \dfrac{\lvert\vec{n}_P\cdot\vec{n}_Q\rvert}{\lvert\vec{n}_P\rvert\cdot\lvert\vec{n}_Q\rvert} cos ( ( P ) , ( Q ) ) = ∣ n P ∣ ⋅ ∣ n Q ∣ ∣ n P ⋅ n Q ∣
Khoảng cách từ M 0 M_0 M 0 ( P ) : a x + b y + c z + d = 0 (P)\colon ax + by + cz + d = 0 ( P ) : a x + b y + cz + d = 0
d ( M 0 , ( P ) ) = ∣ a x 0 + b y 0 + c z 0 + d ∣ a 2 + b 2 + c 2 d\left(M_0, (P)\right) = \dfrac{\lvert ax_0 + by_0 + cz_0 + d\rvert}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} d ( M 0 , ( P ) ) = a 2 + b 2 + c 2 ∣ a x 0 + b y 0 + c z 0 + d ∣
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (cùng hệ số a a a b b b c c c d 1 d_1 d 1 d 2 d_2 d 2
∣ d 1 − d 2 ∣ a 2 + b 2 + c 2 \dfrac{\lvert d_1 - d_2\rvert}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} a 2 + b 2 + c 2 ∣ d 1 − d 2 ∣
Ghi nhớ
Ba góc đều nằm trong đoạn [ 0 ∘ ; 90 ∘ ] [0^\circ; 90^\circ] [ 0 ∘ ; 9 0 ∘ ] trị tuyệt đối . Riêng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng dùng sin (vì n ⃗ \vec{n} n cos .
Mô hình dưới đây dựng đúng các đối tượng trong Dạng 1 và Dạng 4: mặt phẳng ( P ) (P) ( P ) A A A B B B C C C ( S ) (S) ( S ) ( P ) (P) ( P ) H H H Δ \Delta Δ I I I ( P ) (P) ( P ) I H IH I H
Dạng bài thường gặp trong đề thi
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng
Ví dụ
Viết phương trình mặt phẳng ( P ) (P) ( P ) A ( 2 ; 0 ; 2 ) A(2; 0; 2) A ( 2 ; 0 ; 2 ) B ( 0 ; 3 ; 0 ) B(0; 3; 0) B ( 0 ; 3 ; 0 ) C ( 0 ; 1 ; 2 ) C(0; 1; 2) C ( 0 ; 1 ; 2 )
Xem lời giải A B → = ( − 2 ; 3 ; − 2 ) \overrightarrow{AB} = (-2; 3; -2) A B = ( − 2 ; 3 ; − 2 ) A C → = ( − 2 ; 1 ; 0 ) \overrightarrow{AC} = (-2; 1; 0) A C = ( − 2 ; 1 ; 0 )
[ A B → , A C → ] = ( 3 ⋅ 0 − ( − 2 ) ⋅ 1 ; ( − 2 ) ⋅ ( − 2 ) − ( − 2 ) ⋅ 0 ; ( − 2 ) ⋅ 1 − 3 ⋅ ( − 2 ) ) = ( 2 ; 4 ; 4 ) . \begin{aligned} \left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right] &= \big(3\cdot 0 - (-2)\cdot 1; \\ &\qquad (-2)\cdot(-2) - (-2)\cdot 0; \\ &\qquad (-2)\cdot 1 - 3\cdot(-2)\big) \\ &= (2; 4; 4). \end{aligned} [ A B , A C ] = ( 3 ⋅ 0 − ( − 2 ) ⋅ 1 ; ( − 2 ) ⋅ ( − 2 ) − ( − 2 ) ⋅ 0 ; ( − 2 ) ⋅ 1 − 3 ⋅ ( − 2 ) ) = ( 2 ; 4 ; 4 ) . Chọn n ⃗ = ( 1 ; 2 ; 2 ) \vec{n} = (1; 2; 2) n = ( 1 ; 2 ; 2 ) A ( 2 ; 0 ; 2 ) A(2; 0; 2) A ( 2 ; 0 ; 2 )
( x − 2 ) + 2 y + 2 ( z − 2 ) = 0 ⇔ x + 2 y + 2 z − 6 = 0. \begin{aligned} & (x - 2) + 2y + 2(z - 2) = 0 \\ \Leftrightarrow {} & x + 2y + 2z - 6 = 0. \end{aligned} ⇔ ( x − 2 ) + 2 y + 2 ( z − 2 ) = 0 x + 2 y + 2 z − 6 = 0. Thử lại: tọa độ của B B B C C C
Ví dụ
Mặt phẳng ( Q ) (Q) ( Q ) O x Ox O x O y Oy O y O z Oz O z ( 3 ; 0 ; 0 ) (3; 0; 0) ( 3 ; 0 ; 0 ) ( 0 ; − 2 ; 0 ) (0; -2; 0) ( 0 ; − 2 ; 0 ) ( 0 ; 0 ; 6 ) (0; 0; 6) ( 0 ; 0 ; 6 ) ( Q ) (Q) ( Q )
Xem lời giải Phương trình đoạn chắn: x 3 + y − 2 + z 6 = 1 \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{-2} + \dfrac{z}{6} = 1 3 x + − 2 y + 6 z = 1 6 6 6 2 x − 3 y + z − 6 = 0 2x - 3y + z - 6 = 0 2 x − 3 y + z − 6 = 0
Dạng 2: Đường thẳng và giao điểm với mặt phẳng
Ví dụ
Cho đường thẳng d d d M ( 4 ; − 1 ; 3 ) M(4; -1; 3) M ( 4 ; − 1 ; 3 ) u ⃗ = ( − 2 ; 1 ; 1 ) \vec{u} = (-2; 1; 1) u = ( − 2 ; 1 ; 1 ) d d d ( P ) : x + 2 y + 2 z − 6 = 0 (P)\colon x + 2y + 2z - 6 = 0 ( P ) : x + 2 y + 2 z − 6 = 0
Xem lời giải Phương trình tham số: x = 4 − 2 t x = 4 - 2t x = 4 − 2 t y = − 1 + t y = -1 + t y = − 1 + t z = 3 + t z = 3 + t z = 3 + t
Thay vào ( P ) (P) ( P ) ( 4 − 2 t ) + 2 ( − 1 + t ) + 2 ( 3 + t ) − 6 = 0 ⇔ 2 + 2 t = 0 ⇔ t = − 1 (4 - 2t) + 2(-1 + t) + 2(3 + t) - 6 = 0 \Leftrightarrow 2 + 2t = 0 \Leftrightarrow t = -1 ( 4 − 2 t ) + 2 ( − 1 + t ) + 2 ( 3 + t ) − 6 = 0 ⇔ 2 + 2 t = 0 ⇔ t = − 1
Giao điểm ( 6 ; − 2 ; 2 ) (6; -2; 2) ( 6 ; − 2 ; 2 )
Dạng 3: Góc và khoảng cách
Ví dụ
Cho ( P ) : x + 2 y + 2 z − 6 = 0 (P)\colon x + 2y + 2z - 6 = 0 ( P ) : x + 2 y + 2 z − 6 = 0 ( P ) (P) ( P ) d : { x = 1 + t y = 2 z = − 2 + t d\colon \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 \\ z = -2 + t \end{cases} d : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 2 z = − 2 + t ( P ) (P) ( P ) ( O x y ) (Oxy) ( O x y )
Xem lời giải a) u ⃗ = ( 1 ; 0 ; 1 ) \vec{u} = (1; 0; 1) u = ( 1 ; 0 ; 1 ) n ⃗ = ( 1 ; 2 ; 2 ) \vec{n} = (1; 2; 2) n = ( 1 ; 2 ; 2 ) sin ( d , ( P ) ) = ∣ 1 + 0 + 2 ∣ 2 ⋅ 3 = 2 2 \sin\left(d, (P)\right) = \dfrac{\lvert 1 + 0 + 2\rvert}{\sqrt{2}\cdot 3} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} sin ( d , ( P ) ) = 2 ⋅ 3 ∣ 1 + 0 + 2 ∣ = 2 2 45 ∘ 45^\circ 4 5 ∘
b) ( O x y ) (Oxy) ( O x y ) k ⃗ = ( 0 ; 0 ; 1 ) \vec{k} = (0; 0; 1) k = ( 0 ; 0 ; 1 ) cos = ∣ 2 ∣ 3 ⋅ 1 = 2 3 \cos = \dfrac{\lvert 2\rvert}{3\cdot 1} = \dfrac{2}{3} cos = 3 ⋅ 1 ∣ 2 ∣ = 3 2 ≈ 48,2 ∘ \approx 48{,}2^\circ ≈ 48 , 2 ∘
Dạng 4: Mặt cầu tiếp xúc, cắt mặt phẳng
Ví dụ
Viết phương trình mặt cầu ( S ) (S) ( S ) I ( 1 ; 4 ; 3 ) I(1; 4; 3) I ( 1 ; 4 ; 3 ) ( P ) : x + 2 y + 2 z − 6 = 0 (P)\colon x + 2y + 2z - 6 = 0 ( P ) : x + 2 y + 2 z − 6 = 0 H H H
Xem lời giải R = d ( I , ( P ) ) = ∣ 1 + 8 + 6 − 6 ∣ 1 + 4 + 4 = 3 R = d\left(I, (P)\right) = \dfrac{\lvert 1 + 8 + 6 - 6\rvert}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 3 R = d ( I , ( P ) ) = 1 + 4 + 4 ∣ 1 + 8 + 6 − 6 ∣ = 3 ( S ) : ( x − 1 ) 2 + ( y − 4 ) 2 + ( z − 3 ) 2 = 9 (S)\colon (x - 1)^2 + (y - 4)^2 + (z - 3)^2 = 9 ( S ) : ( x − 1 ) 2 + ( y − 4 ) 2 + ( z − 3 ) 2 = 9
Tiếp điểm là hình chiếu của I I I ( P ) (P) ( P ) Δ \Delta Δ I I I ( P ) (P) ( P ) x = 1 + t {x = 1 + t} x = 1 + t y = 4 + 2 t {y = 4 + 2t} y = 4 + 2 t z = 3 + 2 t {z = 3 + 2t} z = 3 + 2 t ( P ) (P) ( P ) 9 t + 9 = 0 ⇒ t = − 1 9t + 9 = 0 \Rightarrow t = -1 9 t + 9 = 0 ⇒ t = − 1 H ( 0 ; 2 ; 1 ) H(0; 2; 1) H ( 0 ; 2 ; 1 )
Dạng 5: Tình huống thực tế — câu đúng/sai (phần II)
Ví dụ
Trong một sảnh triển lãm, chọn hệ trục O x y z Oxyz O x y z ( O x y ) (Oxy) ( O x y ) ( P ) : x + 2 y + 2 z − 6 = 0 (P)\colon x + 2y + 2z - 6 = 0 ( P ) : x + 2 y + 2 z − 6 = 0 I ( 1 ; 4 ; 3 ) I(1; 4; 3) I ( 1 ; 4 ; 3 )
a) n ⃗ = ( 1 ; 2 ; 2 ) \vec{n} = (1; 2; 2) n = ( 1 ; 2 ; 2 )
b) Khoảng cách từ đèn đến mặt phẳng chứa tấm kính bằng 3 m 3\,\text{m} 3 m
c) Chân đường vuông góc kẻ từ đèn đến mặt phẳng chứa tấm kính là điểm ( 1 ; 2 ; 0 ) (1; 2; 0) ( 1 ; 2 ; 0 )
d) Mặt phẳng chứa tấm kính tạo với sàn một góc lớn hơn 50 ∘ 50^\circ 5 0 ∘
Xem lời giải a) Đúng. Hệ số của x x x y y y z z z ( 1 ; 2 ; 2 ) (1; 2; 2) ( 1 ; 2 ; 2 )
b) Đúng. d ( I , ( P ) ) = ∣ 1 + 8 + 6 − 6 ∣ 3 = 3 d\left(I, (P)\right) = \dfrac{\lvert 1 + 8 + 6 - 6\rvert}{3} = 3 d ( I , ( P ) ) = 3 ∣ 1 + 8 + 6 − 6 ∣ = 3
c) Sai. Điểm ( 1 ; 2 ; 0 ) (1; 2; 0) ( 1 ; 2 ; 0 ) ( P ) (P) ( P ) 1 + 4 + 0 − 6 = − 1 ≠ 0 1 + 4 + 0 - 6 = -1 \ne 0 1 + 4 + 0 − 6 = − 1 = 0 H ( 0 ; 2 ; 1 ) H(0; 2; 1) H ( 0 ; 2 ; 1 )
d) Sai. Góc giữa ( P ) (P) ( P ) cos = 2 3 \cos = \dfrac{2}{3} cos = 3 2 48,2 ∘ < 50 ∘ 48{,}2^\circ < 50^\circ 48 , 2 ∘ < 5 0 ∘
Dạng 6: Bài toán thực tế trả lời ngắn (phần III)
Ví dụ
Chọn hệ trục O x y z Oxyz O x y z ( O x y ) (Oxy) ( O x y ) O O O T ( 0 ; 0 ; 6 ) T(0; 0; 6) T ( 0 ; 0 ; 6 ) u ⃗ = ( 2 ; 1 ; − 3 ) \vec{u} = (2; 1; -3) u = ( 2 ; 1 ; − 3 )
Xem lời giải Tia nắng qua đỉnh T T T T ′ T' T ′ O T ′ OT' O T ′ Bóng của đỉnh T T T T T T u ⃗ \vec{u} u z = 0 z = 0 z = 0 x = 2 t x = 2t x = 2 t y = t y = t y = t z = 6 − 3 t z = 6 - 3t z = 6 − 3 t z = 0 ⇔ t = 2 z = 0 \Leftrightarrow t = 2 z = 0 ⇔ t = 2 T ′ ( 4 ; 2 ; 0 ) T'(4; 2; 0) T ′ ( 4 ; 2 ; 0 )
Bóng là đoạn O T ′ OT' O T ′ O T ′ = 16 + 4 = 2 5 ≈ 4,47 ( m ) OT' = \sqrt{16 + 4} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47\,(\text{m}) O T ′ = 16 + 4 = 2 5 ≈ 4 , 47 ( m )
Lỗi thường gặp
Chú ý
Lấy cả hằng số d d d n ⃗ \vec{n} n
Dùng cos \cos cos sin \sin sin
Đọc tâm mặt cầu từ ( x + 2 ) 2 (x + 2)^2 ( x + 2 ) 2 a = 2 a = 2 a = 2 a = − 2 a = -2 a = − 2 x x x y y y z z z − 2 -2 − 2
Phương trình chính tắc chỉ viết được khi cả ba tọa độ của u ⃗ \vec{u} u 0 0 0 0 0 0
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: phải đưa về cùng bộ hệ số ( a ; b ; c ) (a; b; c) ( a ; b ; c ) ∣ d 1 − d 2 ∣ \lvert d_1 - d_2\rvert ∣ d 1 − d 2 ∣
Mẹo làm bài
Mẹo làm bài
Viết xong phương trình mặt phẳng, thay ngược tọa độ các điểm đã cho để kiểm tra — mất vài giây nhưng tránh mất trọn câu.
Tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng: luôn đi qua đường thẳng vuông góc (dạng tham số) rồi thay vào mặt phẳng, như Dạng 4.
Bài thực tế: đổi tình huống thành đối tượng hình học trước (tấm kính → mặt phẳng, tia sáng → đường thẳng, vùng phủ sóng → mặt cầu), rồi mới chọn công thức.
Máy tính cầm tay: dùng chế độ vectơ để tính tích có hướng, tích vô hướng, độ dài; dùng chức năng giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn để tìm giao điểm hoặc kiểm tra một điểm có thỏa mãn nhiều phương trình cùng lúc.
Tự kiểm tra nhanh
Viết phương trình mặt phẳng đi qua M ( 1 ; − 2 ; 3 ) M(1; -2; 3) M ( 1 ; − 2 ; 3 ) n ⃗ = ( 2 ; − 1 ; 4 ) \vec{n} = (2; -1; 4) n = ( 2 ; − 1 ; 4 )
Xem đáp án 2 ( x − 1 ) − ( y + 2 ) + 4 ( z − 3 ) = 0 ⇔ 2 x − y + 4 z − 16 = 0 2(x - 1) - (y + 2) + 4(z - 3) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 4z - 16 = 0 2 ( x − 1 ) − ( y + 2 ) + 4 ( z − 3 ) = 0 ⇔ 2 x − y + 4 z − 16 = 0
Tìm tâm và bán kính của mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 6 y − 2 z − 2 = 0 x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 2z - 2 = 0 x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 6 y − 2 z − 2 = 0
Xem đáp án a = 2 a = 2 a = 2 b = − 3 b = -3 b = − 3 c = 1 c = 1 c = 1 d = − 2 d = -2 d = − 2 I ( 2 ; − 3 ; 1 ) I(2; -3; 1) I ( 2 ; − 3 ; 1 ) R = 4 + 9 + 1 + 2 = 4 R = \sqrt{4 + 9 + 1 + 2} = 4 R = 4 + 9 + 1 + 2 = 4
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng 2 x − y + 2 z + 1 = 0 2x - y + 2z + 1 = 0 2 x − y + 2 z + 1 = 0 2 x − y + 2 z − 8 = 0 2x - y + 2z - 8 = 0 2 x − y + 2 z − 8 = 0
Xem đáp án Hai mặt phẳng song song, cùng bộ hệ số: ∣ 1 − ( − 8 ) ∣ 4 + 1 + 4 = 9 3 = 3 \dfrac{\lvert 1 - (-8)\rvert}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \dfrac{9}{3} = 3 4 + 1 + 4 ∣ 1 − ( − 8 )∣ = 3 9 = 3
Tính góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương u ⃗ 1 = ( 1 ; 1 ; 0 ) \vec{u}_1 = (1; 1; 0) u 1 = ( 1 ; 1 ; 0 ) u ⃗ 2 = ( 0 ; 1 ; 1 ) \vec{u}_2 = (0; 1; 1) u 2 = ( 0 ; 1 ; 1 )
Xem đáp án cos = ∣ 0 + 1 + 0 ∣ 2 ⋅ 2 = 1 2 \cos = \dfrac{\lvert 0 + 1 + 0\rvert}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2} cos = 2 ⋅ 2 ∣ 0 + 1 + 0 ∣ = 2 1 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘
Mặt cầu tâm O O O 5 5 5 x + 2 y + 2 z − 9 = 0 x + 2y + 2z - 9 = 0 x + 2 y + 2 z − 9 = 0
Xem đáp án h = ∣ − 9 ∣ 3 = 3 < 5 h = \dfrac{\lvert -9\rvert}{3} = 3 < 5 h = 3 ∣ − 9 ∣ = 3 < 5 r = 5 2 − 3 2 = 4 r = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 r = 5 2 − 3 2 = 4
