Ôn Thi Đại Họcby ToanKhonTech
Kiến thức trọng tâmLớp 12

Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Quy tắc hình hộp, trung điểm, trọng tâm, tích vô hướng, tọa độ điểm và vectơ trong Oxyz, công thức độ dài, góc và bài toán thực tế kèm lời giải chi tiết.

Vectơ trong không gian là "ngôn ngữ" của toàn bộ phần hình học tọa độ lớp 12. Đề thi thường có 1 câu phần I hỏi trực tiếp (quy tắc hình hộp, tọa độ vectơ, tích vô hướng), còn các câu Oxyz ở phần II, III đều cần tính độ dài, góc bằng vectơ. Chủ đề ngắn, công thức ít, nên đây là phần nên lấy trọn điểm.

Kiến thức trọng tâm

Vectơ và các phép toán

Vectơ trong không gian được định nghĩa như trong mặt phẳng (có hướng, có độ dài); hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài. Các quy tắc cần thuộc:

Quy tắc Biểu thức
Ba điểm AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}; OB→−OA→=AB→\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB}
Hình bình hành ABCDABCD AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}
Hình hộp ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' AB→+AD→+AA′→=AC′→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}
Trung điểm II của ABAB IA→+IB→=0⃗\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}; MA→+MB→=2MI→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI} với mọi MM
Trọng tâm GG của tam giác ABCABC GA→+GB→+GC→=0⃗\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}
Trọng tâm GG của tứ diện ABCDABCD GA→+GB→+GC→+GD→=0⃗\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}
ABCDA'B'C'D'
Quy tắc hình hộp — tổng ba vectơ cùng gốc AA theo ba cạnh là vectơ đường chéo AC′→\overrightarrow{AC'}.

Tích vô hướng của hai vectơ khác 0⃗\vec{0}: a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡(a⃗,b⃗)\vec{a}\cdot\vec{b} = \lvert\vec{a}\rvert\cdot\lvert\vec{b}\rvert\cdot\cos(\vec{a}, \vec{b}), với góc (a⃗,b⃗)(\vec{a}, \vec{b}) nằm trong đoạn [0∘;180∘][0^\circ; 180^\circ]. Hệ quả: a⃗⊥b⃗⇔a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b} = 0 và a⃗ 2=∣a⃗∣2\vec{a}^{\,2} = \lvert\vec{a}\rvert^2.

Hệ trục tọa độ OxyzOxyz

Hệ gồm ba trục OxOx, OyOy, OzOz đôi một vuông góc tại OO với các vectơ đơn vị i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j}, k⃗\vec{k}.

  • M(x;y;z)⇔OM→=xi⃗+yj⃗+zk⃗M(x; y; z) \Leftrightarrow \overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}; a⃗=(a1;a2;a3)⇔a⃗=a1i⃗+a2j⃗+a3k⃗\vec{a} = (a_1; a_2; a_3) \Leftrightarrow \vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}.
  • Hình chiếu của M(x;y;z)M(x; y; z) trên mặt phẳng (Oxy)(Oxy) là (x;y;0)(x; y; 0), trên (Oxz)(Oxz) là (x;0;z)(x; 0; z), trên trục OxOx là (x;0;0)(x; 0; 0).
  • Khoảng cách từ MM đến trục OzOz là x2+y2\sqrt{x^2 + y^2}, đến mặt phẳng (Oxy)(Oxy) là ∣z∣\lvert z\rvert.

Biểu thức tọa độ

Với a⃗=(a1;a2;a3)\vec{a} = (a_1; a_2; a_3), b⃗=(b1;b2;b3)\vec{b} = (b_1; b_2; b_3), A(xA;yA;zA)A(x_A; y_A; z_A), B(xB;yB;zB)B(x_B; y_B; z_B):

Nội dung Công thức
Tổng, hiệu, nhân số a⃗±b⃗=(a1±b1;a2±b2;a3±b3)\vec{a} \pm \vec{b} = {(a_1 \pm b_1; a_2 \pm b_2; a_3 \pm b_3)}
ka⃗=(ka1;ka2;ka3)k\vec{a} = {(ka_1; ka_2; ka_3)}
Tích vô hướng a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a}\cdot\vec{b} = {a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3}
Độ dài ∣a⃗∣=a12+a22+a32\lvert\vec{a}\rvert = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}
Góc cos⁡(a⃗,b⃗)=a1b1+a2b2+a3b3∣a⃗∣⋅∣b⃗∣\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3}{\lvert\vec{a}\rvert\cdot\lvert\vec{b}\rvert}
Vectơ AB→\overrightarrow{AB}, độ dài ABAB AB→=(xB−xA;yB−yA;zB−zA)\overrightarrow{AB} = {(x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)}
AB=∣AB→∣AB = \lvert\overrightarrow{AB}\rvert
Trung điểm II của ABAB I(xA+xB2; yA+yB2; zA+zB2)I\Bigg(\dfrac{x_A + x_B}{2};\allowbreak\ \dfrac{y_A + y_B}{2};\allowbreak\ \dfrac{z_A + z_B}{2}\Bigg)
Trọng tâm GG của tam giác ABCABC G(xA+xB+xC3; yA+yB+yC3; zA+zB+zC3)G\Bigg(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3};\allowbreak\ \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3};\allowbreak\ \dfrac{z_A + z_B + z_C}{3}\Bigg)
Cùng phương (b⃗≠0⃗)(\vec{b} \ne \vec{0}) a⃗=kb⃗\vec{a} = k\vec{b}, tức các tọa độ tương ứng tỉ lệ

Mô hình dưới đây dựng đúng các điểm của Dạng 2 và Dạng 3: xoay hình để thấy AB→\overrightarrow{AB} và AC→\overrightarrow{AC} vuông góc, còn ABDCABDC là một hình vuông nằm nghiêng trong không gian.

Hệ tọa độ Oxyz 3D

A(2; 0; 1), B(1; 2; 3), C(4; 2; 0) — hai vectơ AB, AC vuông góc và cùng dài 3; D(3; 4; 2) là đỉnh thứ tư của hình vuông ABDC

Đang chuẩn bị mô hình…

Dạng bài thường gặp trong đề thi

Dạng 1: Biểu diễn vectơ trong hình hộp, tứ diện (phần I)

Xem lời giải
  • Quy tắc hình hộp: AC′→=a⃗+b⃗+c⃗\overrightarrow{AC'} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}.
  • Quy tắc ba điểm: BD′→=BA→+AD→+DD′→=−a⃗+b⃗+c⃗\overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} (vì DD′→=AA′→\overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AA'}).
  • AM→=AC→+CM→=(a⃗+b⃗)+12c⃗\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM} = (\vec{a} + \vec{b}) + \dfrac{1}{2}\vec{c}.

Dạng 2: Tọa độ điểm, vectơ, trung điểm, trọng tâm

Xem lời giải

AB→=(−1;2;2)\overrightarrow{AB} = (-1; 2; 2), AC→=(2;2;−1)\overrightarrow{AC} = (2; 2; -1).

G(2+1+43;0+2+23;1+3+03)=(73;43;43)G\left(\dfrac{2 + 1 + 4}{3}; \dfrac{0 + 2 + 2}{3}; \dfrac{1 + 3 + 0}{3}\right) = \left(\dfrac{7}{3}; \dfrac{4}{3}; \dfrac{4}{3}\right).

ABDCABDC là hình bình hành ⇔AB→=CD→⇔D=C+AB→=(4−1;2+2;0+2)=(3;4;2)\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \Leftrightarrow D = C + \overrightarrow{AB} = (4 - 1; 2 + 2; 0 + 2) = (3; 4; 2).

Chú ý thứ tự đỉnh: "ABDCABDC" có cặp cạnh đối ABAB và DCDC, nên dùng AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.

Dạng 3: Tích vô hướng, góc, độ dài — câu đúng/sai (phần II)

Xem lời giải

a) Đúng. AB→=(1−2;2−0;3−1)\overrightarrow{AB} = (1 - 2; 2 - 0; 3 - 1).

b) Sai. AB→⋅AC→=(−1)⋅2+2⋅2+2⋅(−1)=0\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = (-1)\cdot 2 + 2\cdot 2 + 2\cdot(-1) = 0.

c) Đúng. Tích vô hướng bằng 00 nên AB⊥ACAB \perp AC; AB=1+4+4=3AB = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3 và AC=4+4+1=3AC = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3.

d) Sai. ABCDABCD là hình bình hành cần AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}, nhưng DC→=(1;−2;−2)=−AB→\overrightarrow{DC} = (1; -2; -2) = -\overrightarrow{AB}. Điểm DD này làm ABDCABDC (không phải ABCDABCD) thành hình bình hành — thậm chí là hình vuông.

Dạng 4: Vectơ trong tình huống thực tế (phần III)

Xem lời giải

Sau tt giây, vị trí là A+tv⃗A + t\vec{v}. Với t=5t = 5: B(10+10;20−5;5+10)=(20;15;15)B(10 + 10; 20 - 5; 5 + 10) = (20; 15; 15).

Quãng đường: AB=5∣v⃗∣=54+1+4=15 (m)AB = 5\lvert\vec{v}\rvert = 5\sqrt{4 + 1 + 4} = 15\,(\text{m}).

Phương thẳng đứng có vectơ k⃗=(0;0;1)\vec{k} = (0; 0; 1): cos⁡(v⃗,k⃗)=23⋅1=23\cos(\vec{v}, \vec{k}) = \dfrac{2}{3\cdot 1} = \dfrac{2}{3}, nên góc ≈48,2∘\approx 48{,}2^\circ.

Lỗi thường gặp

Mẹo làm bài

Tự kiểm tra nhanh

  1. Tính góc giữa hai vectơ a⃗=(1;−2;2)\vec{a} = (1; -2; 2) và b⃗=(2;1;0)\vec{b} = (2; 1; 0).
Xem đáp án

a⃗⋅b⃗=2−2+0=0\vec{a}\cdot\vec{b} = 2 - 2 + 0 = 0 nên góc giữa hai vectơ là 90∘90^\circ.

  1. Với a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} ở câu 1, tính ∣a⃗+b⃗∣\lvert\vec{a} + \vec{b}\rvert.
Xem đáp án

a⃗+b⃗=(3;−1;2)\vec{a} + \vec{b} = (3; -1; 2), nên ∣a⃗+b⃗∣=9+1+4=14\lvert\vec{a} + \vec{b}\rvert = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}.

  1. Tìm số thực mm để u⃗=(m;2;−1)\vec{u} = (m; 2; -1) vuông góc với v⃗=(3;m;4)\vec{v} = (3; m; 4).
Xem đáp án

u⃗⋅v⃗=3m+2m−4=0⇔m=45\vec{u}\cdot\vec{v} = 3m + 2m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{4}{5}.

  1. Cho M(3;−2;5)M(3; -2; 5). Tìm hình chiếu của MM trên mặt phẳng (Oxz)(Oxz) và khoảng cách từ MM đến trục OzOz.
Xem đáp án

Hình chiếu trên (Oxz)(Oxz) là (3;0;5)(3; 0; 5). Khoảng cách đến trục OzOz là 32+(−2)2=13\sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13}.

  1. Cho tứ diện ABCDABCD có trọng tâm GG. Biểu diễn AG→\overrightarrow{AG} theo AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC}, AD→\overrightarrow{AD}.
Xem đáp án

Từ GA→+GB→+GC→+GD→=0⃗\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}, chèn điểm AA: 4GA→+AB→+AC→+AD→=0⃗4\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = \vec{0}, nên AG→=14(AB→+AC→+AD→)\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\right).

Kiểm tra lại kiến thức vừa ôn

Làm 10 câu luyện tập về vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian và xem lời giải ngay sau mỗi câu.

Luyện tập ngay

Đề có câu hỏi về chủ đề này

ĐỀ SỐ 01Trung bìnhLàm thử miễn phí
Toán — Đề ôn luyện số 1

Đề bám sát cấu trúc đề thi tốt nghiệp 2025–2026: hàm phân thức có tiệm cận xiên, chuyển động tính bằng tích phân, tọa độ Oxyz với drone và mái che, xác suất có điều kiện qua bộ lọc thư rác, tối ưu chi phí và quy hoạch tuyến tính.

22 câu · 90 phút
ĐỀ SỐ 02Cơ bảnLàm thử miễn phí
Toán — Đề ôn luyện số 2

Đề cơ bản để làm quen cấu trúc đề thi: đọc đồ thị, cực trị và giá trị nhỏ nhất của hàm số, nguyên hàm – tích phân cơ bản, tọa độ trong phòng học, xác suất có điều kiện theo tỉ lệ phần trăm, cùng các bài toán thực tế ngắn về diện tích, tối ưu và sản xuất.

22 câu · 90 phút
ĐỀ SỐ 03Nâng caoLàm thử miễn phí
Toán — Đề ôn luyện số 3

Đề nâng cao, nhiều câu phân hóa: đọc đồ thị đạo hàm, hàm số mũ, hai xe đuổi nhau, bóng nắng trong Oxyz, xét nghiệm hai lần theo công thức Bayes, khoảng cách giữa hai đường chéo nhau, tối ưu máng nước và chi phí khẩu phần nhỏ nhất.

22 câu · 90 phút