Nguyên hàm và tích phân là chủ đề lớn thứ hai của đề Toán sau ứng dụng đạo hàm. Phần I thường hỏi bảng nguyên hàm, tính chất tích phân, diện tích hoặc thể tích; phần II hay có một câu đúng/sai về chuyển động hoặc tốc độ thay đổi; phần III thường là một bài diện tích, thể tích hay tổng lượng trong tình huống thực tế. Nắm chắc bảng nguyên hàm và bốn công thức ứng dụng là đủ để làm phần lớn các câu.
Kiến thức trọng tâm
Nguyên hàm
Cho hàm số f ( x ) f(x) f ( x ) K K K F ( x ) F(x) F ( x ) một nguyên hàm của f ( x ) f(x) f ( x ) K K K F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x) = f(x) F ′ ( x ) = f ( x ) x ∈ K x \in K x ∈ K f f f K K K F ( x ) + C F(x) + C F ( x ) + C C C C
∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C . \int f(x)\,dx = F(x) + C. ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C . Tính chất:
∫ k f ( x ) d x = k ∫ f ( x ) d x \displaystyle\int k f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx ∫ k f ( x ) d x = k ∫ f ( x ) d x k ≠ 0 k \ne 0 k = 0 ∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x \displaystyle\int \left[f(x) \pm g(x)\right]dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx ∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x ∫ f ′ ( x ) d x = f ( x ) + C \displaystyle\int f'(x)\,dx = f(x) + C ∫ f ′ ( x ) d x = f ( x ) + C
Bảng nguyên hàm cơ bản
Hàm số f ( x ) f(x) f ( x )
Nguyên hàm ∫ f ( x ) d x \displaystyle\int f(x)\,dx ∫ f ( x ) d x
Ghi chú
0 0 0 C C C
x α x^{\alpha} x α x α + 1 α + 1 + C \dfrac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C α + 1 x α + 1 + C α ≠ − 1 \alpha \ne -1 α = − 1
1 x \dfrac{1}{x} x 1 ln ∣ x ∣ + C \ln\lvert x\rvert + C ln ∣ x ∣ + C trên từng khoảng không chứa 0 0 0
e x e^x e x e x + C e^x + C e x + C
a x a^x a x a x ln a + C \dfrac{a^x}{\ln a} + C ln a a x + C 0 < a ≠ 1 0 < a \ne 1 0 < a = 1
sin x \sin x sin x − cos x + C -\cos x + C − cos x + C chú ý dấu trừ
cos x \cos x cos x sin x + C \sin x + C sin x + C
1 cos 2 x \dfrac{1}{\cos^2 x} cos 2 x 1 tan x + C \tan x + C tan x + C
1 sin 2 x \dfrac{1}{\sin^2 x} sin 2 x 1 − cot x + C -\cot x + C − cot x + C
Tích phân
Nếu F F F f f f [ a ; b ] [a; b] [ a ; b ]
∫ a b f ( x ) d x = F ( x ) ∣ a b = F ( b ) − F ( a ) . \int_a^b f(x)\,dx = F(x)\Big|_a^b = F(b) - F(a). ∫ a b f ( x ) d x = F ( x ) a b = F ( b ) − F ( a ) . Tính chất cần dùng:
∫ a a f ( x ) d x = 0 \displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0 ∫ a a f ( x ) d x = 0 ∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx ∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x ∫ a b [ k f ( x ) ± g ( x ) ] d x = k ∫ a b f ( x ) d x ± ∫ a b g ( x ) d x \displaystyle\int_a^b \left[k f(x) \pm g(x)\right]dx = k\int_a^b f(x)\,dx \pm \int_a^b g(x)\,dx ∫ a b [ k f ( x ) ± g ( x ) ] d x = k ∫ a b f ( x ) d x ± ∫ a b g ( x ) d x ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x
Ghi nhớ
Ý nghĩa thực tế: ∫ a b F ′ ( t ) d t = F ( b ) − F ( a ) \displaystyle\int_a^b F'(t)\,dt = F(b) - F(a) ∫ a b F ′ ( t ) d t = F ( b ) − F ( a ) lượng thay đổi của đại lượng F F F a a a b b b
Vận tốc là đạo hàm của tọa độ: ∫ t 1 t 2 v ( t ) d t \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt ∫ t 1 t 2 v ( t ) d t v ( t ) ≥ 0 v(t) \ge 0 v ( t ) ≥ 0
Gia tốc là đạo hàm của vận tốc: v ( t ) = ∫ a ( t ) d t v(t) = \displaystyle\int a(t)\,dt v ( t ) = ∫ a ( t ) d t C C C
Tốc độ bơm nước, công suất, tốc độ tăng dân số... lấy tích phân ra tổng lượng nước, điện năng, số dân tăng thêm.
Ứng dụng hình học
Đối tượng
Diện tích, thể tích
Hình phẳng giới hạn bởi y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x ) O x Ox O x x = a x = a x = a x = b x = b x = b
S = ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x {S = \displaystyle\int_a^b \lvert f(x)\rvert\,dx} S = ∫ a b ∣ f ( x )∣ d x
Hình phẳng giữa hai đồ thị y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x ) y = g ( x ) y = g(x) y = g ( x ) x = a x = a x = a x = b x = b x = b
S = ∫ a b ∣ f ( x ) − g ( x ) ∣ d x {S = \displaystyle\int_a^b \lvert f(x) - g(x)\rvert\,dx} S = ∫ a b ∣ f ( x ) − g ( x )∣ d x
Vật thể có thiết diện vuông góc với O x Ox O x x x x S ( x ) S(x) S ( x )
V = ∫ a b S ( x ) d x {V = \displaystyle\int_a^b S(x)\,dx} V = ∫ a b S ( x ) d x
Khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x ) O x Ox O x x = a x = a x = a x = b x = b x = b O x Ox O x
V = π ∫ a b f 2 ( x ) d x {V = \pi\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx} V = π ∫ a b f 2 ( x ) d x
Khi đề chỉ cho hai đồ thị, cận a a a b b b f ( x ) = g ( x ) f(x) = g(x) f ( x ) = g ( x )
Công thức thể tích khối nón là một ví dụ của khối tròn xoay: quay tam giác vuông có cạnh huyền nằm trên đường thẳng y = r h x y = \dfrac{r}{h}x y = h r x 0 ≤ x ≤ h 0 \le x \le h 0 ≤ x ≤ h O x Ox O x
V = π ∫ 0 h ( r h x ) 2 d x = π r 2 h 2 ⋅ h 3 3 = 1 3 π r 2 h . V = \pi\int_0^h \left(\dfrac{r}{h}x\right)^2 dx = \dfrac{\pi r^2}{h^2}\cdot\dfrac{h^3}{3} = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h. V = π ∫ 0 h ( h r x ) 2 d x = h 2 π r 2 ⋅ 3 h 3 = 3 1 π r 2 h .
Dạng bài thường gặp trong đề thi
Dạng 1: Tìm nguyên hàm thỏa mãn một điều kiện
Ví dụ
Biết F ( x ) F(x) F ( x ) f ( x ) = 2 e x + 3 x 2 f(x) = 2e^x + 3x^2 f ( x ) = 2 e x + 3 x 2 R \mathbb{R} R F ( 0 ) = 1 F(0) = 1 F ( 0 ) = 1 F ( 1 ) F(1) F ( 1 )
Xem lời giải F ( x ) = ∫ ( 2 e x + 3 x 2 ) d x = 2 e x + x 3 + C F(x) = \displaystyle\int (2e^x + 3x^2)\,dx = 2e^x + x^3 + C F ( x ) = ∫ ( 2 e x + 3 x 2 ) d x = 2 e x + x 3 + C
F ( 0 ) = 2 + C = 1 ⇒ C = − 1 F(0) = 2 + C = 1 \Rightarrow C = -1 F ( 0 ) = 2 + C = 1 ⇒ C = − 1 F ( x ) = 2 e x + x 3 − 1 F(x) = 2e^x + x^3 - 1 F ( x ) = 2 e x + x 3 − 1
Vậy F ( 1 ) = 2 e + 1 − 1 = 2 e F(1) = 2e + 1 - 1 = 2e F ( 1 ) = 2 e + 1 − 1 = 2 e
Dạng 2: Dùng tính chất tích phân
Ví dụ
Cho ∫ 0 3 f ( x ) d x = 5 \displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx = 5 ∫ 0 3 f ( x ) d x = 5 I = ∫ 0 3 [ 3 f ( x ) − 2 x ] d x I = \displaystyle\int_0^3 \left[3f(x) - 2x\right]dx I = ∫ 0 3 [ 3 f ( x ) − 2 x ] d x
Xem lời giải I = 3 ∫ 0 3 f ( x ) d x − ∫ 0 3 2 x d x = 3 ⋅ 5 − x 2 ∣ 0 3 = 15 − 9 = 6. I = 3\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx - \int_0^3 2x\,dx = 3\cdot 5 - x^2\Big|_0^3 = 15 - 9 = 6. I = 3 ∫ 0 3 f ( x ) d x − ∫ 0 3 2 x d x = 3 ⋅ 5 − x 2 0 3 = 15 − 9 = 6. Lỗi hay gặp: quên nhân 3 3 3 ∫ 0 3 2 x d x = 6 \displaystyle\int_0^3 2x\,dx = 6 ∫ 0 3 2 x d x = 6 2 ⋅ 3 2\cdot 3 2 ⋅ 3
Dạng 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
Ví dụ
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x 2 − 2 x y = x^2 - 2x y = x 2 − 2 x y = x y = x y = x
Phần tô màu là hình phẳng cần tính diện tích; hai đường cắt nhau tại O ( 0 ; 0 ) O(0; 0) O ( 0 ; 0 ) ( 3 ; 3 ) (3; 3) ( 3 ; 3 ) Xem lời giải Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 − 2 x = x ⇔ x 2 − 3 x = 0 ⇔ x = 0 x^2 - 2x = x \Leftrightarrow x^2 - 3x = 0 \Leftrightarrow x = 0 x 2 − 2 x = x ⇔ x 2 − 3 x = 0 ⇔ x = 0 x = 3 x = 3 x = 3
Trên [ 0 ; 3 ] [0; 3] [ 0 ; 3 ] x − ( x 2 − 2 x ) = 3 x − x 2 ≥ 0 x - (x^2 - 2x) = 3x - x^2 \ge 0 x − ( x 2 − 2 x ) = 3 x − x 2 ≥ 0
S = ∫ 0 3 ( 3 x − x 2 ) d x = ( 3 x 2 2 − x 3 3 ) ∣ 0 3 = 27 2 − 9 = 9 2 . \begin{aligned} S &= \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \left(\dfrac{3x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right)\Big|_0^3 \\ &= \dfrac{27}{2} - 9 = \dfrac{9}{2}. \end{aligned} S = ∫ 0 3 ( 3 x − x 2 ) d x = ( 2 3 x 2 − 3 x 3 ) 0 3 = 2 27 − 9 = 2 9 . Dạng 4: Thể tích khối tròn xoay
Ví dụ
Cho hình phẳng ( H ) (H) ( H ) y = 2 x − x 2 y = 2x - x^2 y = 2 x − x 2 ( H ) (H) ( H ) O x Ox O x
Xem lời giải 2 x − x 2 = 0 ⇔ x = 0 2x - x^2 = 0 \Leftrightarrow x = 0 2 x − x 2 = 0 ⇔ x = 0 x = 2 x = 2 x = 2
V = π ∫ 0 2 ( 2 x − x 2 ) 2 d x = π ∫ 0 2 ( 4 x 2 − 4 x 3 + x 4 ) d x = π ( 32 3 − 16 + 32 5 ) = 16 π 15 . \begin{aligned} V &= \pi\int_0^2 (2x - x^2)^2\,dx \\ &= \pi\int_0^2 (4x^2 - 4x^3 + x^4)\,dx \\ &= \pi\left(\dfrac{32}{3} - 16 + \dfrac{32}{5}\right) = \dfrac{16\pi}{15}. \end{aligned} V = π ∫ 0 2 ( 2 x − x 2 ) 2 d x = π ∫ 0 2 ( 4 x 2 − 4 x 3 + x 4 ) d x = π ( 3 32 − 16 + 5 32 ) = 15 16 π . Nhớ bình phương hàm số và nhân π \pi π
Dạng 5: Chuyển động — câu đúng/sai (phần II)
Ví dụ
Một khinh khí cầu rời mặt đất và bay thẳng đứng lên trên với vận tốc v ( t ) = 10 t − t 2 v(t) = 10t - t^2 v ( t ) = 10 t − t 2 0 ≤ t ≤ 10 {0 \le t \le 10} 0 ≤ t ≤ 10 t t t
a) Vận tốc lớn nhất của khinh khí cầu là 25 25 25
b) Trong 3 phút đầu, khinh khí cầu bay lên được 40 m 40\,\text{m} 40 m
c) Sau 10 phút, khinh khí cầu ở độ cao lớn hơn 170 m 170\,\text{m} 170 m
d) Gia tốc của khinh khí cầu tại thời điểm t = 2 t = 2 t = 2 6 6 6
Xem lời giải a) Đúng. v ′ ( t ) = 10 − 2 t = 0 ⇔ t = 5 v'(t) = 10 - 2t = 0 \Leftrightarrow t = 5 v ′ ( t ) = 10 − 2 t = 0 ⇔ t = 5 v ′ v' v ′ + + + − - − t = 5 t = 5 t = 5 v max = v ( 5 ) = 25 v_{\max} = v(5) = 25 v m a x = v ( 5 ) = 25
b) Sai. ∫ 0 3 ( 10 t − t 2 ) d t = ( 5 t 2 − t 3 3 ) ∣ 0 3 = 45 − 9 = 36 ( m ) \displaystyle\int_0^3 (10t - t^2)\,dt = \left(5t^2 - \dfrac{t^3}{3}\right)\Big|_0^3 = 45 - 9 = 36\,(\text{m}) ∫ 0 3 ( 10 t − t 2 ) d t = ( 5 t 2 − 3 t 3 ) 0 3 = 45 − 9 = 36 ( m )
c) Sai. Trên [ 0 ; 10 ] [0; 10] [ 0 ; 10 ] v ( t ) = t ( 10 − t ) ≥ 0 v(t) = t(10 - t) \ge 0 v ( t ) = t ( 10 − t ) ≥ 0 ∫ 0 10 ( 10 t − t 2 ) d t = 500 − 1000 3 = 500 3 ≈ 166,7 ( m ) < 170 m \displaystyle\int_0^{10} (10t - t^2)\,dt = 500 - \dfrac{1000}{3} = \dfrac{500}{3} \approx 166{,}7\,(\text{m}) < 170\,\text{m} ∫ 0 10 ( 10 t − t 2 ) d t = 500 − 3 1000 = 3 500 ≈ 166 , 7 ( m ) < 170 m
d) Đúng. a ( t ) = v ′ ( t ) = 10 − 2 t a(t) = v'(t) = 10 - 2t a ( t ) = v ′ ( t ) = 10 − 2 t a ( 2 ) = 6 a(2) = 6 a ( 2 ) = 6
Dạng 6: Tổng lượng trong tình huống thực tế (phần III)
Ví dụ
Công suất phát điện của một hệ pin mặt trời trong một ngày nắng được mô hình hóa bởi P ( t ) = 0,12 t ( 12 − t ) {P(t) = 0{,}12\,t(12 - t)} P ( t ) = 0 , 12 t ( 12 − t ) t t t 0 ≤ t ≤ 12 {0 \le t \le 12} 0 ≤ t ≤ 12
Xem lời giải Điện năng là tích phân của công suất theo thời gian:
A = ∫ 0 12 0,12 t ( 12 − t ) d t = 0,12 ( 6 t 2 − t 3 3 ) ∣ 0 12 = 0,12 ⋅ ( 864 − 576 ) = 34,56 ( kWh ) . \begin{aligned} A &= \int_0^{12} 0{,}12\,t(12 - t)\,dt \\ &= 0{,}12\left(6t^2 - \dfrac{t^3}{3}\right)\Big|_0^{12} \\ &= 0{,}12\cdot(864 - 576) = 34{,}56\ (\text{kWh}). \end{aligned} A = ∫ 0 12 0 , 12 t ( 12 − t ) d t = 0 , 12 ( 6 t 2 − 3 t 3 ) 0 12 = 0 , 12 ⋅ ( 864 − 576 ) = 34 , 56 ( kWh ) . Làm tròn: 34,6 34{,}6 34 , 6
Lỗi thường gặp
Chú ý
Sai dấu: ∫ sin x d x = − cos x + C \displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x + C ∫ sin x d x = − cos x + C ( cos x ) ′ = − sin x (\cos x)' = -\sin x ( cos x ) ′ = − sin x
Quên điều kiện α ≠ − 1 \alpha \ne -1 α = − 1 ∫ 1 x d x = ln ∣ x ∣ + C \displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C ∫ x 1 d x = ln ∣ x ∣ + C không phải x 0 0 \dfrac{x^0}{0} 0 x 0
Tính diện tích bằng ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x \displaystyle\int_a^b \left[f(x) - g(x)\right]dx ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x ( a ; b ) (a; b) ( a ; b )
Thể tích khối tròn xoay: quên bình phương f ( x ) f(x) f ( x ) π \pi π
Bài chuyển động: quên tìm hằng số C C C v ( 0 ) v(0) v ( 0 ) s ( 0 ) s(0) s ( 0 )
Mẹo làm bài
Mẹo làm bài
Kiểm tra một nguyên hàm bằng cách lấy đạo hàm ngược lại — nhanh và chắc hơn nhớ máy móc.
Diện tích luôn dương, thể tích khối tròn xoay luôn có thừa số π \pi π
Máy tính cầm tay: chức năng tính tích phân xác định cho kết quả số để đối chiếu với đáp án dạng phân số hay chứa π \pi π e e e π \pi π ∣ f ( x ) − g ( x ) ∣ \lvert f(x) - g(x)\rvert ∣ f ( x ) − g ( x )∣
Bài thực tế: viết rõ đơn vị của tích phân (m/phút nhân phút ra mét, kW nhân giờ ra kWh) để tránh nhầm đại lượng.
Tự kiểm tra nhanh
Tìm họ nguyên hàm của f ( x ) = 4 x 3 − 2 x f(x) = 4x^3 - \dfrac{2}{x} f ( x ) = 4 x 3 − x 2 ( 0 ; + ∞ ) (0; +\infty) ( 0 ; + ∞ )
Xem đáp án ∫ ( 4 x 3 − 2 x ) d x = x 4 − 2 ln x + C \displaystyle\int \left(4x^3 - \dfrac{2}{x}\right)dx = x^4 - 2\ln x + C ∫ ( 4 x 3 − x 2 ) d x = x 4 − 2 ln x + C ( 0 ; + ∞ ) (0; +\infty) ( 0 ; + ∞ ) ∣ x ∣ = x \lvert x\rvert = x ∣ x ∣ = x
Tính ∫ 0 π / 2 ( 2 cos x + 1 ) d x \displaystyle\int_0^{\pi/2} (2\cos x + 1)\,dx ∫ 0 π /2 ( 2 cos x + 1 ) d x
Xem đáp án ( 2 sin x + x ) ∣ 0 π / 2 = 2 + π 2 (2\sin x + x)\Big|_0^{\pi/2} = 2 + \dfrac{\pi}{2} ( 2 sin x + x ) 0 π /2 = 2 + 2 π
Tính ∫ − 1 2 ∣ x ∣ d x \displaystyle\int_{-1}^{2} \lvert x\rvert\,dx ∫ − 1 2 ∣ x ∣ d x
Xem đáp án Tách tại x = 0 x = 0 x = 0 ∫ − 1 0 ( − x ) d x + ∫ 0 2 x d x = 1 2 + 2 = 5 2 \displaystyle\int_{-1}^{0} (-x)\,dx + \int_0^2 x\,dx = \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{5}{2} ∫ − 1 0 ( − x ) d x + ∫ 0 2 x d x = 2 1 + 2 = 2 5
Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 x = 0 x = 0 x = 4 x = 4 x = 4 O x Ox O x x x x x \sqrt{x} x
Xem đáp án S ( x ) = ( x ) 2 = x S(x) = \left(\sqrt{x}\right)^2 = x S ( x ) = ( x ) 2 = x V = ∫ 0 4 x d x = 8 V = \displaystyle\int_0^4 x\,dx = 8 V = ∫ 0 4 x d x = 8
