Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

a) $f'(x) > 0$ trên $(-2; 1)$ nên hàm số đồng biến trên $(-2; 1)$. Không trả lời $(-3; 2)$ — đó là khoảng giá trị của $y$.

b) $f'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x = 1$, nên giá trị cực đại là $y_{\text{CĐ}} = f(1) = 2$ (điểm cực đại là $x = 1$).

c) Kẻ đường thẳng $y = 1$: trên $(-\infty; -2)$ hàm số giảm từ $+\infty$ xuống $-3$ nên đi qua giá trị $1$ đúng một lần; trên $(-2; 1)$ tăng từ $-3$ lên $2$, đi qua $1$ một lần; trên $(1; +\infty)$ giảm từ $2$ xuống $-\infty$, đi qua $1$ một lần. Vậy phương trình có 3 nghiệm.

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (nghiệm kép), $x = -3$ hoặc $x = 2$. Xét dấu (thừa số $(x - 1)^2 \ge 0$ không làm đổi dấu):

$f'$ đổi dấu tại $x = -3$ (từ $-$ sang $+$: cực tiểu) và tại $x = 2$ (từ $+$ sang $-$: cực đại); không đổi dấu tại $x = 1$. Vậy có 2 điểm cực trị, điểm cực đại là $x = 2$.

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3)$; $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 3$, cả hai đều thuộc $(-2; 4)$.

$f(-2) = 3$, $f(-1) = 10$, $f(3) = -22$, $f(4) = -15$.

Vậy $\max\limits_{[-2; 4]} f(x) = f(-1) = 10$ và $\min\limits_{[-2; 4]} f(x) = f(3) = -22$.

Chia đa thức: $x^2 + 2x + 3 = (x + 1)(x + 1) + 2$, nên $y = x + 1 + \dfrac{2}{x + 1}$.

• $\lim\limits_{x \to -1^{+}} y = +\infty$, $\lim\limits_{x \to -1^{-}} y = -\infty$ ⇒ tiệm cận đứng $x = -1$.
• $\lim\limits_{x \to \pm\infty}\left[y - (x + 1)\right] = \lim\limits_{x \to \pm\infty}\dfrac{2}{x + 1} = 0$ ⇒ tiệm cận xiên $y = x + 1$. Không có tiệm cận ngang.

$y' = 1 - \dfrac{2}{(x + 1)^2} = \dfrac{x^2 + 2x - 1}{(x + 1)^2}$; $y' = 0 \Leftrightarrow x = -1 \pm \sqrt{2}$.

Điểm cực đại của đồ thị $\left(-1 - \sqrt{2}; -2\sqrt{2}\right)$, điểm cực tiểu $\left(-1 + \sqrt{2}; 2\sqrt{2}\right)$. Giá trị cực đại nhỏ hơn giá trị cực tiểu — điều này không mâu thuẫn vì hai nhánh đồ thị nằm ở hai phía tiệm cận đứng.

a) Đúng. $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$.

b) Đúng. $f'(x) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2$.

c) Sai. $f'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x = 2$, nên điểm cực tiểu là $x = 2$ và giá trị cực tiểu là $f(2) = 0$. Số $2$ là điểm cực tiểu, không phải giá trị cực tiểu.

d) Đúng. $f(-1) = 0$, $f(0) = 4$, $f(2) = 0$, $f(3) = 4$, nên giá trị lớn nhất là $4$ (đạt tại $x = 0$ và $x = 3$).

Gọi cạnh đáy là $x$ (dm), chiều cao là $h$ (dm), $x > 0$. Từ $x^2 h = 32$ suy ra $h = \dfrac{32}{x^2}$.

Diện tích kính: $S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + \dfrac{128}{x}$ với $x > 0$.

$S'(x) = 2x - \dfrac{128}{x^2} = \dfrac{2(x^3 - 64)}{x^2}$; $S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 4$. $S'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x = 4$ nên trên $(0; +\infty)$ hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 4$:

khi đó bể cao $h = 2\,\text{dm}$. Đáp số: $48$.

$y' = -3x^2 + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$. $y'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x = -1$ và từ $+$ sang $-$ tại $x = 1$. Giá trị cực tiểu $y(-1) = 0$, giá trị cực đại $y(1) = 4$.

$y' = \dfrac{2\cdot(-1) - 3\cdot 1}{(x - 1)^2} = \dfrac{-5}{(x - 1)^2} < 0$, nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.

Với $x \ne 1$, $x \ne 2$: $y = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 1)(x - 2)} = \dfrac{x + 2}{x - 1}$. Tại $x = 2$ giới hạn hữu hạn (bằng $4$) nên không có tiệm cận; tiệm cận đứng $x = 1$, tiệm cận ngang $y = 1$. Tổng cộng 2 đường.

Chi phí trung bình $A(x) = \dfrac{C(x)}{x} = \dfrac{x}{10} + 30 + \dfrac{1000}{x}$, $x > 0$. $A'(x) = \dfrac{1}{10} - \dfrac{1000}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 100$; $A'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$. Sản xuất 100 sản phẩm, khi đó chi phí trung bình là $50$ nghìn đồng mỗi sản phẩm.