Lượng giác là kiến thức lớp 11, trong đề tốt nghiệp thường có 1 câu ở phần I (giá trị lượng giác hoặc phương trình cơ bản) và có thể xuất hiện trong bài toán thực tế ở phần II, III dưới dạng hàm số y = A sin ( ω x + φ ) + B y = A\sin(\omega x + \varphi) + B y = A sin ( ω x + φ ) + B
Kiến thức trọng tâm
Góc lượng giác và giá trị lượng giác
π rad = 180 ∘ \pi\ \text{rad} = 180^\circ π rad = 18 0 ∘ α \alpha α R R R l = R α l = R\alpha l = R α Trên đường tròn lượng giác, điểm M M M α \alpha α ( cos α ; sin α ) (\cos\alpha; \sin\alpha) ( cos α ; sin α ) tan α = sin α cos α \tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} tan α = cos α sin α cot α = cos α sin α \cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} cot α = sin α cos α
Hệ thức cơ bản: sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 sin 2 α + cos 2 α = 1 1 + tan 2 α = 1 cos 2 α 1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha} 1 + tan 2 α = cos 2 α 1 1 + cot 2 α = 1 sin 2 α 1 + \cot^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha} 1 + cot 2 α = sin 2 α 1 tan α ⋅ cot α = 1 \tan\alpha\cdot\cot\alpha = 1 tan α ⋅ cot α = 1
α \alpha α 0 0 0 π 6 \dfrac{\pi}{6} 6 π π 4 \dfrac{\pi}{4} 4 π π 3 \dfrac{\pi}{3} 3 π π 2 \dfrac{\pi}{2} 2 π
sin α \sin\alpha sin α 0 0 0 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1 2 2 \dfrac{\sqrt{2}}{2} 2 2 3 2 \dfrac{\sqrt{3}}{2} 2 3 1 1 1
cos α \cos\alpha cos α 1 1 1 3 2 \dfrac{\sqrt{3}}{2} 2 3 2 2 \dfrac{\sqrt{2}}{2} 2 2 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1 0 0 0
tan α \tan\alpha tan α 0 0 0 3 3 \dfrac{\sqrt{3}}{3} 3 3 1 1 1 3 \sqrt{3} 3 không xác định
Góc liên quan đặc biệt: cos ( − α ) = cos α \cos(-\alpha) = \cos\alpha cos ( − α ) = cos α sin ( − α ) = − sin α \sin(-\alpha) = -\sin\alpha sin ( − α ) = − sin α sin ( π − α ) = sin α \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha sin ( π − α ) = sin α cos ( π − α ) = − cos α \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha cos ( π − α ) = − cos α sin ( π 2 − α ) = cos α \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha sin ( 2 π − α ) = cos α tan ( α + π ) = tan α \tan(\alpha + \pi) = \tan\alpha tan ( α + π ) = tan α
Công thức biến đổi
Nhóm
Công thức
Cộng
sin ( a ± b ) = sin a cos b ± cos a sin b \sin(a \pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b sin ( a ± b ) = sin a cos b ± cos a sin b
cos ( a ± b ) = cos a cos b ∓ sin a sin b \cos(a \pm b) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b cos ( a ± b ) = cos a cos b ∓ sin a sin b
tan ( a ± b ) = tan a ± tan b 1 ∓ tan a tan b \tan(a \pm b) = \dfrac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a\tan b} tan ( a ± b ) = 1 ∓ tan a tan b tan a ± tan b
Nhân đôi
sin 2 a = 2 sin a cos a \sin 2a = 2\sin a\cos a sin 2 a = 2 sin a cos a
cos 2 a = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2 sin 2 a \cos 2a = {\cos^2 a - \sin^2 a} = {2\cos^2 a - 1} = {1 - 2\sin^2 a} cos 2 a = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2 sin 2 a
Tích thành tổng
cos a cos b = 1 2 [ cos ( a − b ) + cos ( a + b ) ] \cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[\cos(a - b) + \cos(a + b)\right] cos a cos b = 2 1 [ cos ( a − b ) + cos ( a + b ) ]
sin a sin b = 1 2 [ cos ( a − b ) − cos ( a + b ) ] \sin a\sin b = \dfrac{1}{2}\left[\cos(a - b) - \cos(a + b)\right] sin a sin b = 2 1 [ cos ( a − b ) − cos ( a + b ) ]
sin a cos b = 1 2 [ sin ( a − b ) + sin ( a + b ) ] \sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[\sin(a - b) + \sin(a + b)\right] sin a cos b = 2 1 [ sin ( a − b ) + sin ( a + b ) ]
Tổng thành tích
sin a + sin b = 2 sin a + b 2 cos a − b 2 \sin a + \sin b = 2\sin\dfrac{a + b}{2}\cos\dfrac{a - b}{2} sin a + sin b = 2 sin 2 a + b cos 2 a − b
cos a + cos b = 2 cos a + b 2 cos a − b 2 \cos a + \cos b = 2\cos\dfrac{a + b}{2}\cos\dfrac{a - b}{2} cos a + cos b = 2 cos 2 a + b cos 2 a − b
Hàm số lượng giác
Hàm số
Tập xác định
Tập giá trị
Tính chẵn, lẻ
Chu kì
y = sin x y = \sin x y = sin x R \mathbb{R} R [ − 1 ; 1 ] [-1; 1] [ − 1 ; 1 ] lẻ
2 π 2\pi 2 π
y = cos x y = \cos x y = cos x R \mathbb{R} R [ − 1 ; 1 ] [-1; 1] [ − 1 ; 1 ] chẵn
2 π 2\pi 2 π
y = tan x y = \tan x y = tan x x ≠ π 2 + k π x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi x = 2 π + k π R \mathbb{R} R lẻ
π \pi π
y = cot x y = \cot x y = cot x x ≠ k π x \ne k\pi x = k π R \mathbb{R} R lẻ
π \pi π
Hàm số y = A sin ( ω x + φ ) + B y = A\sin(\omega x + \varphi) + B y = A sin ( ω x + φ ) + B cos \cos cos A ≠ 0 A \ne 0 A = 0 ω > 0 \omega > 0 ω > 0 T = 2 π ω T = \dfrac{2\pi}{\omega} T = ω 2 π B + ∣ A ∣ B + \lvert A\rvert B + ∣ A ∣ B − ∣ A ∣ B - \lvert A\rvert B − ∣ A ∣
Đồ thị y = sin x y = \sin x y = sin x y = cos x y = \cos x y = cos x 2 π 2\pi 2 π [ − 1 ; 1 ] [-1; 1] [ − 1 ; 1 ] Phương trình lượng giác cơ bản
Phương trình
Điều kiện có nghiệm
Nghiệm (k ∈ Z k \in \mathbb{Z} k ∈ Z
sin x = m = sin α \sin x = m = \sin\alpha sin x = m = sin α ∣ m ∣ ≤ 1 \lvert m\rvert \le 1 ∣ m ∣ ≤ 1 x = α + k 2 π {x = \alpha + k2\pi} x = α + k 2 π x = π − α + k 2 π {x = \pi - \alpha + k2\pi} x = π − α + k 2 π
cos x = m = cos α \cos x = m = \cos\alpha cos x = m = cos α ∣ m ∣ ≤ 1 \lvert m\rvert \le 1 ∣ m ∣ ≤ 1 x = ± α + k 2 π {x = \pm\alpha + k2\pi} x = ± α + k 2 π
tan x = m = tan α \tan x = m = \tan\alpha tan x = m = tan α mọi m m m
x = α + k π {x = \alpha + k\pi} x = α + k π
cot x = m = cot α \cot x = m = \cot\alpha cot x = m = cot α mọi m m m
x = α + k π {x = \alpha + k\pi} x = α + k π
Trường hợp đặc biệt: sin x = 0 ⇔ x = k π {\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi} sin x = 0 ⇔ x = k π sin x = 1 ⇔ x = π 2 + k 2 π {\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi} sin x = 1 ⇔ x = 2 π + k 2 π cos x = 0 ⇔ x = π 2 + k π {\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi} cos x = 0 ⇔ x = 2 π + k π cos x = − 1 ⇔ x = π + k 2 π {\cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi} cos x = − 1 ⇔ x = π + k 2 π
Đường thẳng y = 1 2 y = \dfrac{1}{2} y = 2 1 π 6 \dfrac{\pi}{6} 6 π 5 π 6 \dfrac{5\pi}{6} 6 5 π sin x = 1 2 \sin x = \dfrac{1}{2} sin x = 2 1 Dạng bài thường gặp trong đề thi
Dạng 1: Tính giá trị lượng giác khi biết một giá trị
Ví dụ
Cho tan α = 2 \tan\alpha = 2 tan α = 2 π < α < 3 π 2 \pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2} π < α < 2 3 π cos α \cos\alpha cos α sin α \sin\alpha sin α sin 2 α \sin 2\alpha sin 2 α cos 2 α \cos 2\alpha cos 2 α
Xem lời giải 1 cos 2 α = 1 + tan 2 α = 5 ⇒ cos 2 α = 1 5 \dfrac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \tan^2\alpha = 5 \Rightarrow \cos^2\alpha = \dfrac{1}{5} cos 2 α 1 = 1 + tan 2 α = 5 ⇒ cos 2 α = 5 1 cos α < 0 \cos\alpha < 0 cos α < 0 cos α = − 5 5 \cos\alpha = -\dfrac{\sqrt{5}}{5} cos α = − 5 5
sin α = tan α ⋅ cos α = − 2 5 5 \sin\alpha = \tan\alpha\cdot\cos\alpha = -\dfrac{2\sqrt{5}}{5} sin α = tan α ⋅ cos α = − 5 2 5
sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 ⋅ 2 5 = 4 5 \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\cdot\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{5} sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 ⋅ 5 2 = 5 4 cos 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 2 5 − 1 = − 3 5 \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = \dfrac{2}{5} - 1 = -\dfrac{3}{5} cos 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 5 2 − 1 = − 5 3
Dạng 2: Dùng công thức cộng, biến đổi
Ví dụ
a) Tính chính xác cos 75 ∘ \cos 75^\circ cos 7 5 ∘ sin 3 x + sin x = 2 sin 2 x cos x \sin 3x + \sin x = 2\sin 2x\cos x sin 3 x + sin x = 2 sin 2 x cos x
Xem lời giải a) cos 75 ∘ = cos ( 45 ∘ + 30 ∘ ) = cos 45 ∘ cos 30 ∘ − sin 45 ∘ sin 30 ∘ = 2 2 ⋅ 3 2 − 2 2 ⋅ 1 2 = 6 − 2 4 \cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ\cos 30^\circ - \sin 45^\circ\sin 30^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} cos 7 5 ∘ = cos ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ ) = cos 4 5 ∘ cos 3 0 ∘ − sin 4 5 ∘ sin 3 0 ∘ = 2 2 ⋅ 2 3 − 2 2 ⋅ 2 1 = 4 6 − 2
b) Công thức tổng thành tích: sin 3 x + sin x = 2 sin 3 x + x 2 cos 3 x − x 2 = 2 sin 2 x cos x \sin 3x + \sin x = 2\sin\dfrac{3x + x}{2}\cos\dfrac{3x - x}{2} = 2\sin 2x\cos x sin 3 x + sin x = 2 sin 2 3 x + x cos 2 3 x − x = 2 sin 2 x cos x
Dạng 3: Giải và đếm nghiệm phương trình cơ bản
Ví dụ
Giải phương trình 2 cos ( 2 x − π 3 ) = 1 2\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = 1 2 cos ( 2 x − 3 π ) = 1 [ 0 ; π ] [0; \pi] [ 0 ; π ]
Xem lời giải cos ( 2 x − π 3 ) = 1 2 = cos π 3 ⇔ 2 x − π 3 = ± π 3 + k 2 π \cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{\pi}{3} \Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi}{3} = \pm\dfrac{\pi}{3} + k2\pi cos ( 2 x − 3 π ) = 2 1 = cos 3 π ⇔ 2 x − 3 π = ± 3 π + k 2 π
2 x − π 3 = π 3 + k 2 π ⇔ x = π 3 + k π 2x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi 2 x − 3 π = 3 π + k 2 π ⇔ x = 3 π + k π 2 x − π 3 = − π 3 + k 2 π ⇔ x = k π 2x - \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi 2 x − 3 π = − 3 π + k 2 π ⇔ x = k π ( k ∈ Z ) (k \in \mathbb{Z}) ( k ∈ Z )
Trên [ 0 ; π ] [0; \pi] [ 0 ; π ] x = π 3 x = \dfrac{\pi}{3} x = 3 π x = 0 x = 0 x = 0 x = π x = \pi x = π 3 nghiệm : 0 0 0 π 3 \dfrac{\pi}{3} 3 π π \pi π
Dạng 4: Mô hình lượng giác trong thực tế — câu đúng/sai (phần II)
Ví dụ
Độ sâu mực nước tại một cảng biển (tính bằng mét) sau t t t h ( t ) = 4 + 1,5 cos π t 6 h(t) = 4 + 1{,}5\cos\dfrac{\pi t}{6} h ( t ) = 4 + 1 , 5 cos 6 π t 0 ≤ t ≤ 24 {0 \le t \le 24} 0 ≤ t ≤ 24
a) Hàm số h ( t ) h(t) h ( t )
b) Mực nước thấp nhất tại cảng là 3 m 3\,\text{m} 3 m
c) Lúc 6 giờ sáng, mực nước thấp nhất.
d) Một tàu chỉ vào được cảng khi độ sâu mực nước không nhỏ hơn 4,75 m 4{,}75\,\text{m} 4 , 75 m
Xem lời giải a) Đúng. T = 2 π π / 6 = 12 T = \dfrac{2\pi}{\pi/6} = 12 T = π /6 2 π = 12
b) Sai. cos π t 6 ≥ − 1 \cos\dfrac{\pi t}{6} \ge -1 cos 6 π t ≥ − 1 h ( t ) ≥ 4 − 1,5 = 2,5 h(t) \ge 4 - 1{,}5 = 2{,}5 h ( t ) ≥ 4 − 1 , 5 = 2 , 5 2,5 m 2{,}5\,\text{m} 2 , 5 m
c) Đúng. h ( 6 ) = 4 + 1,5 cos π = 2,5 h(6) = 4 + 1{,}5\cos\pi = 2{,}5 h ( 6 ) = 4 + 1 , 5 cos π = 2 , 5
d) Đúng. h ( t ) ≥ 4,75 ⇔ cos π t 6 ≥ 1 2 ⇔ − π 3 + k 2 π ≤ π t 6 ≤ π 3 + k 2 π ⇔ − 2 + 12 k ≤ t ≤ 2 + 12 k h(t) \ge 4{,}75 \Leftrightarrow \cos\dfrac{\pi t}{6} \ge \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow -\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \le \dfrac{\pi t}{6} \le \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow -2 + 12k \le t \le 2 + 12k h ( t ) ≥ 4 , 75 ⇔ cos 6 π t ≥ 2 1 ⇔ − 3 π + k 2 π ≤ 6 π t ≤ 3 π + k 2 π ⇔ − 2 + 12 k ≤ t ≤ 2 + 12 k
Trên [ 0 ; 24 ] [0; 24] [ 0 ; 24 ] t ∈ [ 0 ; 2 ] ∪ [ 10 ; 14 ] ∪ [ 22 ; 24 ] t \in [0; 2] \cup [10; 14] \cup [22; 24] t ∈ [ 0 ; 2 ] ∪ [ 10 ; 14 ] ∪ [ 22 ; 24 ] 2 + 4 + 2 = 8 2 + 4 + 2 = 8 2 + 4 + 2 = 8
Dạng 5: Tổng các nghiệm trên một đoạn (phần III)
Ví dụ
Tổng các nghiệm thuộc đoạn [ 0 ; 2 π ] [0; 2\pi] [ 0 ; 2 π ] sin 2 x = 1 2 \sin 2x = \dfrac{1}{2} sin 2 x = 2 1 a π a\pi aπ a a a
Xem lời giải sin 2 x = sin π 6 ⇔ 2 x = π 6 + k 2 π \sin 2x = \sin\dfrac{\pi}{6} \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi sin 2 x = sin 6 π ⇔ 2 x = 6 π + k 2 π 2 x = 5 π 6 + k 2 π 2x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi 2 x = 6 5 π + k 2 π x = π 12 + k π x = \dfrac{\pi}{12} + k\pi x = 12 π + k π x = 5 π 12 + k π x = \dfrac{5\pi}{12} + k\pi x = 12 5 π + k π
Trên [ 0 ; 2 π ] [0; 2\pi] [ 0 ; 2 π ] π 12 \dfrac{\pi}{12} 12 π 13 π 12 \dfrac{13\pi}{12} 12 13 π 5 π 12 \dfrac{5\pi}{12} 12 5 π 17 π 12 \dfrac{17\pi}{12} 12 17 π 36 π 12 = 3 π \dfrac{36\pi}{12} = 3\pi 12 36 π = 3 π a = 3 a = 3 a = 3
Lỗi thường gặp
Chú ý
Giải sin x = m \sin x = m sin x = m x = α + k 2 π x = \alpha + k2\pi x = α + k 2 π x = π − α + k 2 π x = \pi - \alpha + k2\pi x = π − α + k 2 π
Viết nghiệm của tan x = m \tan x = m tan x = m k 2 π k2\pi k 2 π k π k\pi k π
Giải sin x = 2 \sin x = 2 sin x = 2 cos x = − 1,5 \cos x = -1{,}5 cos x = − 1 , 5 ∣ m ∣ > 1 \lvert m\rvert > 1 ∣ m ∣ > 1
Chia hai vế cho 2 2 2 cos 2 x = 1 2 \cos 2x = \dfrac{1}{2} cos 2 x = 2 1 cos x = 1 4 \cos x = \dfrac{1}{4} cos x = 4 1 2 x 2x 2 x k 2 π k2\pi k 2 π 2 2 2
Quên xét dấu theo góc phần tư khi tính sin α \sin\alpha sin α cos α \cos\alpha cos α
Mẹo làm bài
Mẹo làm bài
Đếm nghiệm trên một đoạn: với mỗi họ nghiệm, giải bất phương trình theo k ∈ Z k \in \mathbb{Z} k ∈ Z 0 ≤ π 12 + k π ≤ 2 π 0 \le \dfrac{\pi}{12} + k\pi \le 2\pi 0 ≤ 12 π + k π ≤ 2 π
Máy tính cầm tay: luôn kiểm tra đơn vị góc (độ hay radian) trước khi bấm; thử lại nghiệm bằng cách thay x x x π 12 \dfrac{\pi}{12} 12 π f ( x ) = sin 2 x − 1 2 f(x) = \sin 2x - \dfrac{1}{2} f ( x ) = sin 2 x − 2 1
Bài mô hình thực tế: đọc ngay giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (B ± ∣ A ∣ B \pm \lvert A\rvert B ± ∣ A ∣ 2 π ω \dfrac{2\pi}{\omega} ω 2 π
Tự kiểm tra nhanh
Đổi 135 ∘ 135^\circ 13 5 ∘ 2 π 5 \dfrac{2\pi}{5} 5 2 π
Xem đáp án 135 ∘ = 135 π 180 = 3 π 4 135^\circ = \dfrac{135\pi}{180} = \dfrac{3\pi}{4} 13 5 ∘ = 180 135 π = 4 3 π 2 π 5 = 2 ⋅ 180 ∘ 5 = 72 ∘ \dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{2\cdot 180^\circ}{5} = 72^\circ 5 2 π = 5 2 ⋅ 18 0 ∘ = 7 2 ∘
Tìm tập giá trị của hàm số y = 2 cos x − 3 y = 2\cos x - 3 y = 2 cos x − 3
Xem đáp án − 1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒ − 5 ≤ y ≤ − 1 -1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow -5 \le y \le -1 − 1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒ − 5 ≤ y ≤ − 1 [ − 5 ; − 1 ] [-5; -1] [ − 5 ; − 1 ]
Tìm chu kì của hàm số y = sin 3 x y = \sin 3x y = sin 3 x
Xem đáp án T = 2 π 3 T = \dfrac{2\pi}{3} T = 3 2 π
Rút gọn sin ( π − x ) + cos ( π 2 − x ) \sin(\pi - x) + \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) sin ( π − x ) + cos ( 2 π − x )
Xem đáp án sin ( π − x ) = sin x \sin(\pi - x) = \sin x sin ( π − x ) = sin x cos ( π 2 − x ) = sin x \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x cos ( 2 π − x ) = sin x 2 sin x 2\sin x 2 sin x
Giải phương trình tan ( x + π 6 ) = 3 \tan\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} tan ( x + 6 π ) = 3
Xem đáp án x + π 6 = π 3 + k π ⇔ x = π 6 + k π x + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi x + 6 π = 3 π + k π ⇔ x = 6 π + k π ( k ∈ Z ) (k \in \mathbb{Z}) ( k ∈ Z )
