Ôn Thi Đại Họcby ToanKhonTech
Kiến thức trọng tâmLớp 11

Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Công thức số hạng tổng quát, tổng n số hạng đầu của cấp số cộng, cấp số nhân, dãy số tăng giảm và bài toán lãi kép, gửi góp, trả góp kèm ví dụ giải chi tiết.

Dãy số và cấp số thuộc chương trình lớp 11; đề tốt nghiệp thường có 1 câu ở phần I (tìm số hạng, tính tổng) và chủ đề này hay "ẩn" trong các bài thực tế ở phần II, III: lãi suất ngân hàng, tăng dân số, khấu hao tài sản, xếp ghế, xếp gạch. Chỉ cần nhận ra quy luật "cộng thêm một số không đổi" (cấp số cộng) hay "nhân với một số không đổi" (cấp số nhân) là áp dụng được công thức.

Kiến thức trọng tâm

Dãy số

  • Dãy số là hàm số u ⁣:N∗→Ru\colon \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}, kí hiệu (un)(u_n) với unu_n là số hạng tổng quát.
  • (un)(u_n) tăng nếu un+1>unu_{n+1} > u_n với mọi nn; giảm nếu un+1<unu_{n+1} < u_n với mọi nn. Cách xét: dấu của un+1−unu_{n+1} - u_n (hoặc so sánh un+1un\dfrac{u_{n+1}}{u_n} với 11 khi các số hạng dương).
  • (un)(u_n) bị chặn trên nếu có MM để un≤Mu_n \le M với mọi nn; bị chặn dưới nếu có mm để un≥mu_n \ge m; bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.

Cấp số cộng và cấp số nhân

Cấp số cộng (công sai dd) Cấp số nhân (công bội qq)
Định nghĩa un+1=un+du_{n+1} = u_n + d un+1=un⋅qu_{n+1} = u_n\cdot q
Số hạng tổng quát un=u1+(n−1)du_n = u_1 + (n - 1)d un=u1⋅qn−1u_n = {u_1\cdot q^{n-1}}
Tính chất ba số hạng liên tiếp uk=uk−1+uk+12u_k = \dfrac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2} uk2=uk−1⋅uk+1u_k^2 = {u_{k-1}\cdot u_{k+1}}
Tổng nn số hạng đầu Sn=n(u1+un)2=n[2u1+(n−1)d]2S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2} = \dfrac{n\left[2u_1 + (n - 1)d\right]}{2} Sn=u1⋅1−qn1−qS_n = {u_1\cdot\dfrac{1 - q^n}{1 - q}} (q≠1){(q \ne 1)}; q=1q = 1 thì Sn=nu1S_n = nu_1

Bài toán tài chính dựng trên cấp số nhân

Gọi rr là lãi suất mỗi kì (tháng hoặc năm), lãi được nhập vào gốc sau mỗi kì (lãi kép).

Bài toán Công thức
Gửi một lần AA đồng, sau nn kì Tn=A(1+r)n{T_n = A(1 + r)^n}
Đầu mỗi kì gửi thêm aa đồng, số tiền có ở cuối kì thứ nn Tn=a(1+r)⋅(1+r)n−1r{T_n = a(1 + r)\cdot\dfrac{(1 + r)^n - 1}{r}}
Vay AA đồng, cuối mỗi kì trả mm đồng, trả hết sau nn kì m=A r (1+r)n(1+r)n−1{m = \dfrac{A\,r\,(1 + r)^n}{(1 + r)^n - 1}}

Hai công thức sau là tổng của một cấp số nhân công bội 1+r1 + r: mỗi khoản tiền được nhân với (1+r)(1 + r) bao nhiêu lần thì cộng tất cả lại. Hiểu điều này thì không cần học thuộc: có thể tự lập lại khi đề thay đổi (gửi cuối kì thay vì đầu kì, trả trước…).

Số tiền khi gửi 100 triệu đồng, lãi 6% mỗi năm050100150200250Triệu đồng024681012Lãi đơn (cấp số cộng)Lãi kép (cấp số nhân)
Trục hoành là số năm. Lãi đơn tăng đều (cấp số cộng d=6d = 6, sau 12 năm được 172 triệu đồng), lãi kép tăng nhanh dần (cấp số nhân q=1,06q = 1{,}06, sau 12 năm khoảng 201,2 triệu đồng).

Dạng bài thường gặp trong đề thi

Dạng 1: Tìm số hạng, công sai, tổng của cấp số cộng

Xem lời giải

Đưa về u1u_1 và dd: {(u1+d)+(u1+4d)=17u1+3d=10⇔{2u1+5d=17u1+3d=10⇔{u1=1d=3\begin{cases} (u_1 + d) + (u_1 + 4d) = 17 \\ u_1 + 3d = 10 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2u_1 + 5d = 17 \\ u_1 + 3d = 10 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 = 1 \\ d = 3 \end{cases}.

S20=20[2⋅1+19⋅3]2=10⋅59=590.S_{20} = \dfrac{20\left[2\cdot 1 + 19\cdot 3\right]}{2} = 10\cdot 59 = 590.

Dạng 2: Cấp số nhân

Xem lời giải

u4=u1q3⇒q3=−8⇒q=−2u_4 = u_1 q^3 \Rightarrow q^3 = -8 \Rightarrow q = -2.

S6=3⋅1−(−2)61−(−2)=3⋅1−643=−63.S_6 = 3\cdot\dfrac{1 - (-2)^6}{1 - (-2)} = 3\cdot\dfrac{1 - 64}{3} = -63.

Kiểm tra: 3−6+12−24+48−96=−633 - 6 + 12 - 24 + 48 - 96 = -63.

Dạng 3: Xét tính tăng, giảm, bị chặn

Xem lời giải

un+1−un=2n+3n+3−2n+1n+2=(2n+3)(n+2)−(2n+1)(n+3)(n+2)(n+3)=3(n+2)(n+3)>0u_{n+1} - u_n = \dfrac{2n + 3}{n + 3} - \dfrac{2n + 1}{n + 2} = \dfrac{(2n + 3)(n + 2) - (2n + 1)(n + 3)}{(n + 2)(n + 3)} = \dfrac{3}{(n + 2)(n + 3)} > 0, nên dãy tăng.

Mặt khác un=2−3n+2<2u_n = 2 - \dfrac{3}{n + 2} < 2 và dãy tăng nên un≥u1=1u_n \ge u_1 = 1. Vậy 1≤un<21 \le u_n < 2: dãy bị chặn.

Dạng 4: Lãi kép — câu đúng/sai (phần II)

Xem lời giải

a) Đúng. 100⋅(1+0,06)=106100\cdot(1 + 0{,}06) = 106 (triệu đồng).

b) Đúng. Số tiền năm sau bằng số tiền năm trước nhân 1,061{,}06: Tn=100⋅1,06nT_n = 100\cdot 1{,}06^n.

c) Sai. T5=100⋅1,065≈133,82T_5 = 100\cdot 1{,}06^5 \approx 133{,}82 (triệu đồng). Con số 130130 là của lãi đơn (100+5⋅6100 + 5\cdot 6).

d) Sai. 100⋅1,06n≥200⇔n≥log⁡1,062≈11,9100\cdot 1{,}06^n \ge 200 \Leftrightarrow n \ge \log_{1{,}06} 2 \approx 11{,}9, nên chỉ cần 12 năm (T12≈201,2T_{12} \approx 201{,}2 triệu đồng, còn T11≈189,8T_{11} \approx 189{,}8 triệu đồng).

Dạng 5: Vay trả góp (phần III)

Xem lời giải

Đặt q=1,01q = 1{,}01. Sau tháng thứ nhất, số nợ còn 200q−m200q - m; sau tháng thứ hai còn 200q2−mq−m200q^2 - mq - m; ... Sau tháng thứ 24:

200q24−m(q23+q22+⋯+1)=200q24−m⋅q24−1q−1.\begin{aligned} & 200q^{24} - m\left(q^{23} + q^{22} + \dots + 1\right) \\ = {} & 200q^{24} - m\cdot\dfrac{q^{24} - 1}{q - 1}. \end{aligned}

Trả hết nợ nên biểu thức bằng 00:

m=200⋅0,01⋅1,01241,0124−1≈9,41.m = \dfrac{200\cdot 0{,}01\cdot 1{,}01^{24}}{1{,}01^{24} - 1} \approx 9{,}41.

Mỗi tháng anh H. trả khoảng 9,419{,}41 triệu đồng.

Lỗi thường gặp

Mẹo làm bài

Tự kiểm tra nhanh

  1. Cấp số cộng có u1=5u_1 = 5, d=−2d = -2. Tính u10u_{10}.
Xem đáp án

u10=5+9⋅(−2)=−13u_{10} = 5 + 9\cdot(-2) = -13.

  1. Cấp số nhân có u1=4u_1 = 4, q=12q = \dfrac{1}{2}. Tính u5u_5 và S5S_5.
Xem đáp án

u5=4⋅116=14u_5 = 4\cdot\dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{4}; S5=4⋅1−1321−12=314S_5 = 4\cdot\dfrac{1 - \frac{1}{32}}{1 - \frac{1}{2}} = \dfrac{31}{4}.

  1. Tính tổng 1+3+5+⋯+991 + 3 + 5 + \dots + 99.
Xem đáp án

Cấp số cộng u1=1u_1 = 1, d=2d = 2, un=99⇒n=50u_n = 99 \Rightarrow n = 50. S50=50(1+99)2=2500S_{50} = \dfrac{50(1 + 99)}{2} = 2500.

  1. Dãy số un=3⋅2nu_n = 3\cdot 2^n có phải cấp số nhân không? Nếu có, tìm u1u_1 và qq.
Xem đáp án

un+1un=2\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 2 không đổi nên là cấp số nhân với q=2q = 2, u1=6u_1 = 6.

  1. Ba số 22; xx; 1818 theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tìm xx.
Xem đáp án

x2=2⋅18=36⇔x=6x^2 = 2\cdot 18 = 36 \Leftrightarrow x = 6 hoặc x=−6x = -6.

Kiểm tra lại kiến thức vừa ôn

Làm 10 câu luyện tập về dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân và xem lời giải ngay sau mỗi câu.

Luyện tập ngay

Đề có câu hỏi về chủ đề này

ĐỀ SỐ 01Trung bìnhLàm thử miễn phí
Toán — Đề ôn luyện số 1

Đề bám sát cấu trúc đề thi tốt nghiệp 2025–2026: hàm phân thức có tiệm cận xiên, chuyển động tính bằng tích phân, tọa độ Oxyz với drone và mái che, xác suất có điều kiện qua bộ lọc thư rác, tối ưu chi phí và quy hoạch tuyến tính.

22 câu · 90 phút
ĐỀ SỐ 02Cơ bảnLàm thử miễn phí
Toán — Đề ôn luyện số 2

Đề cơ bản để làm quen cấu trúc đề thi: đọc đồ thị, cực trị và giá trị nhỏ nhất của hàm số, nguyên hàm – tích phân cơ bản, tọa độ trong phòng học, xác suất có điều kiện theo tỉ lệ phần trăm, cùng các bài toán thực tế ngắn về diện tích, tối ưu và sản xuất.

22 câu · 90 phút
ĐỀ SỐ 03Nâng caoLàm thử miễn phí
Toán — Đề ôn luyện số 3

Đề nâng cao, nhiều câu phân hóa: đọc đồ thị đạo hàm, hàm số mũ, hai xe đuổi nhau, bóng nắng trong Oxyz, xét nghiệm hai lần theo công thức Bayes, khoảng cách giữa hai đường chéo nhau, tối ưu máng nước và chi phí khẩu phần nhỏ nhất.

22 câu · 90 phút