Kiến thức trọng tâmLớp 11

Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Tính chất lũy thừa, quy tắc lôgarit, đổi cơ số, đồ thị hàm số mũ và lôgarit, phương trình, bất phương trình mũ – lôgarit và bài toán tăng trưởng thực tế.

Hàm số mũ và hàm số lôgarit (lớp 11) thường có 1 câu ở phần I của đề tốt nghiệp — phương trình, bất phương trình hoặc biến đổi lôgarit — và xuất hiện trong bài toán thực tế về lãi suất, tăng dân số, phân rã thuốc, độ pH, độ lớn động đất ở phần II, III. Hai điều cần nhớ nhất: điều kiện xác định của lôgarit và chiều bất đẳng thức phụ thuộc vào cơ số.

Kiến thức trọng tâm

Lũy thừa

Với $a > 0$ , $b > 0$ và $\alpha$ , $\beta$ là các số thực:

Quy tắc	Công thức
Nhân, chia cùng cơ số	${a^{\alpha}\cdot a^{\beta} = a^{\alpha + \beta}}$ ; ${\dfrac{a^{\alpha}}{a^{\beta}} = a^{\alpha - \beta}}$
Lũy thừa của lũy thừa	${\left(a^{\alpha}\right)^{\beta} = a^{\alpha\beta}}$
Lũy thừa của tích, thương	${(ab)^{\alpha} = a^{\alpha}b^{\alpha}}$ ; ${\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\alpha} = \dfrac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}}}$
Số mũ hữu tỉ	${a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}}$ ; ${a^0 = 1}$ ; ${a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}}$

So sánh: nếu $a > 1$ thì $a^{\alpha} > a^{\beta} \Leftrightarrow \alpha > \beta$ ; nếu $0 < a < 1$ thì $a^{\alpha} > a^{\beta} \Leftrightarrow \alpha < \beta$ .

Lôgarit

Với $0 < a \ne 1$ và $b > 0$ : $\log_a b = \alpha \Leftrightarrow a^{\alpha} = b$ . Kí hiệu $\log b = \lg b = \log_{10} b$ (lôgarit thập phân), $\ln b = \log_e b$ (lôgarit tự nhiên, $e \approx 2{,}718$ ).

Tính chất (với $0 < a \ne 1$ ; $b, c > 0$ )	Công thức
Giá trị đặc biệt	${\log_a 1 = 0}$ ; ${\log_a a = 1}$ ; ${\log_a a^{\alpha} = \alpha}$ ; ${a^{\log_a b} = b}$
Lôgarit của tích, thương	${\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c}$ ; ${\log_a\dfrac{b}{c} = \log_a b - \log_a c}$
Lôgarit của lũy thừa	${\log_a b^{\alpha} = \alpha\log_a b}$
Đổi cơ số ( $0 < c \ne 1$ )	${\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}}$ ; ${\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}}$ ( $b \ne 1$ )

Hàm số mũ và hàm số lôgarit

	$y = a^x$ $(0 < a \ne 1)$	$y = \log_a x$ $(0 < a \ne 1)$
Tập xác định	$\mathbb{R}$	$(0; +\infty)$
Tập giá trị	$(0; +\infty)$	$\mathbb{R}$
Tính đơn điệu	Đồng biến nếu $a > 1$ , nghịch biến nếu $0 < a < 1$	Như hàm mũ cùng cơ số
Điểm đặc biệt	Đồ thị đi qua $(0; 1)$ và $(1; a)$	Đồ thị đi qua $(1; 0)$ và $(a; 1)$
Tiệm cận	Tiệm cận ngang $y = 0$	Tiệm cận đứng $x = 0$

Đồ thị

y = 2^x

và

y = \log_2 x

đối xứng nhau qua đường thẳng

y = x

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Dạng	Cách giải
$a^x = b$	Có nghiệm khi $b > 0$ : $x = \log_a b$ ; vô nghiệm khi $b \le 0$
$a^{f(x)} = a^{g(x)}$	$f(x) = g(x)$
$\log_a x = b$	$x = a^b$
$\log_a f(x) = \log_a g(x)$	$f(x) = g(x) > 0$
Bất phương trình	$a > 1$ : giữ chiều; $0 < a < 1$ : đổi chiều; luôn kèm điều kiện xác định của lôgarit

Các cách biến đổi thường dùng: đưa về cùng cơ số; đặt ẩn phụ $t = a^x$ (điều kiện $t > 0$ ); lấy lôgarit hai vế; dùng quy tắc tích, thương để gộp các lôgarit.

Dạng bài thường gặp trong đề thi

Dạng 1: Biến đổi lôgarit

Xem lời giải

a) $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$ ; $\log_9 3 = \dfrac{1}{2}$ (vì $9^{1/2} = 3$ ). Vậy $A = 3 + 2\cdot\dfrac{1}{2} = 4$ .

b) Đổi về cơ số $2$ , với $72 = 2^3\cdot 3^2$ và $6 = 2\cdot 3$ :

\begin{aligned} \log_6 72 &= \dfrac{\log_2 72}{\log_2 6} \\ &= \dfrac{3 + 2\log_2 3}{1 + \log_2 3} = \dfrac{3 + 2a}{1 + a}. \end{aligned}

Dạng 2: Phương trình mũ

Xem lời giải

a) $3^{x^2 - 2x} = 3^3 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 3$ .

b) $4^x = \left(2^x\right)^2$ và $3\cdot 2^{x + 1} = 6\cdot 2^x$ . Đặt $t = 2^x > 0$ : $t^2 - 6t + 8 = 0 \Leftrightarrow t = 2$ hoặc $t = 4$ (đều dương). Suy ra $x = 1$ hoặc $x = 2$ .

Dạng 3: Phương trình, bất phương trình lôgarit

Xem lời giải

a) Điều kiện $x > 1$ . Phương trình tương đương $\log_2\left[(x - 1)(x + 1)\right] = 3 \Leftrightarrow x^2 - 1 = 8 \Leftrightarrow x = \pm 3$ . Kết hợp điều kiện: $x = 3$ .

b) Điều kiện $2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}$ . Cơ số $\dfrac{1}{3} < 1$ nên đổi chiều: $2x - 1 \le \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2} = 9 \Leftrightarrow x \le 5$ . Tập nghiệm $\left(\dfrac{1}{2}; 5\right]$ .

Dạng 4: Mô hình suy giảm — câu đúng/sai (phần II)

Xem lời giải

a) Đúng. $m(0) = 400\cdot 0{,}8^0 = 400$ .

b) Đúng. $\dfrac{m(t + 1)}{m(t)} = 0{,}8$ , tức mỗi giờ còn $80\%$ , giảm $20\%$ .

c) Sai. $m(2) = 400\cdot 0{,}64 = 256\,(\text{mg})$ ; $320\,\text{mg}$ là lượng thuốc sau 1 giờ.

d) Sai. $m(4) = 400\cdot 0{,}8^4 = 163{,}84 > 150$ . Muốn $m(t) < 150$ cần $0{,}8^t < 0{,}375 \Leftrightarrow t > \log_{0{,}8} 0{,}375 \approx 4{,}4$ (giờ) — nhớ đổi chiều vì cơ số $0{,}8 < 1$ .

Dạng 5: Tăng trưởng theo lãi kép (phần III)

Xem lời giải

$1{,}5\cdot 1{,}012^n > 1{,}7 \Leftrightarrow 1{,}012^n > \dfrac{17}{15} \Leftrightarrow n > \log_{1{,}012}\dfrac{17}{15} = \dfrac{\ln\frac{17}{15}}{\ln 1{,}012} \approx 10{,}49$ .

Số nguyên nhỏ nhất là $n = 11$ (kiểm tra: $1{,}5\cdot 1{,}012^{10} \approx 1{,}690$ ; $1{,}5\cdot 1{,}012^{11} \approx 1{,}710$ ). Năm cần tìm là $2025 + 11 = 2036$ .

Lỗi thường gặp

Chú ý

Quên điều kiện xác định: biểu thức dưới dấu lôgarit phải dương; cơ số phải dương và khác $1$ .
Bất phương trình với cơ số nhỏ hơn $1$ mà không đổi chiều (ví dụ $\log_{\frac{1}{3}}$ , $0{,}8^t$ ).
Viết sai quy tắc: $\log_a(b + c) \ne \log_a b + \log_a c$ ; $\log_a b\cdot\log_a c \ne \log_a(bc)$ .
Đặt $t = 2^x$ nhưng không loại nghiệm $t \le 0$ .
Gộp $\log_2(x - 1) + \log_2(x + 1)$ thành $\log_2(x^2 - 1)$ rồi lấy điều kiện $x^2 - 1 > 0$ (rộng hơn điều kiện ban đầu $x > 1$ ), dẫn tới nhận thừa nghiệm $x = -3$ .

Mẹo làm bài

Tự kiểm tra nhanh

Tính $\log_2 32 + \log_3\dfrac{1}{9}$ .

Xem đáp án

$5 + (-2) = 3$ .

Tìm tập xác định của hàm số $y = \log_3(4 - x^2)$ .

Xem đáp án

$4 - x^2 > 0 \Leftrightarrow -2 < x < 2$ . Tập xác định $(-2; 2)$ .

Giải phương trình $5^{x - 1} = 125$ .

Xem đáp án

$5^{x - 1} = 5^3 \Leftrightarrow x = 4$ .

So sánh $0{,}7^{\sqrt{2}}$ và $0{,}7^{1{,}4}$ .

Xem đáp án

Cơ số $0{,}7 < 1$ nên hàm $y = 0{,}7^x$ nghịch biến; $\sqrt{2} \approx 1{,}414 > 1{,}4$ nên $0{,}7^{\sqrt{2}} < 0{,}7^{1{,}4}$ .

Độ lớn của động đất theo thang Richter là $M = \log\dfrac{A}{A_0}$ ( $A$ : biên độ rung chấn, $A_0$ : biên độ chuẩn). Biên độ của trận động đất $7{,}2$ độ gấp khoảng bao nhiêu lần trận $5{,}9$ độ?

Xem đáp án

$\dfrac{A_1}{A_2} = 10^{7{,}2 - 5{,}9} = 10^{1{,}3} \approx 20$ lần.

Kiểm tra lại kiến thức vừa ôn

Làm 10 câu luyện tập về hàm số mũ và hàm số lôgarit và xem lời giải ngay sau mỗi câu.

Luyện tập ngay

Đề có câu hỏi về chủ đề này

ĐỀ SỐ 01Trung bìnhLàm thử miễn phí

Toán — Đề ôn luyện số 1

Đề bám sát cấu trúc đề thi tốt nghiệp 2025–2026: hàm phân thức có tiệm cận xiên, chuyển động tính bằng tích phân, tọa độ Oxyz với drone và mái che, xác suất có điều kiện qua bộ lọc thư rác, tối ưu chi phí và quy hoạch tuyến tính.

22 câu · 90 phút

ĐỀ SỐ 02Cơ bảnLàm thử miễn phí

Toán — Đề ôn luyện số 2

Đề cơ bản để làm quen cấu trúc đề thi: đọc đồ thị, cực trị và giá trị nhỏ nhất của hàm số, nguyên hàm – tích phân cơ bản, tọa độ trong phòng học, xác suất có điều kiện theo tỉ lệ phần trăm, cùng các bài toán thực tế ngắn về diện tích, tối ưu và sản xuất.

22 câu · 90 phút

ĐỀ SỐ 03Nâng caoLàm thử miễn phí

Toán — Đề ôn luyện số 3

Đề nâng cao, nhiều câu phân hóa: đọc đồ thị đạo hàm, hàm số mũ, hai xe đuổi nhau, bóng nắng trong Oxyz, xét nghiệm hai lần theo công thức Bayes, khoảng cách giữa hai đường chéo nhau, tối ưu máng nước và chi phí khẩu phần nhỏ nhất.

22 câu · 90 phút