Kiến thức trọng tâmLớp 11

Giới hạn, hàm số liên tục và đạo hàm

Giới hạn dãy số, cấp số nhân lùi vô hạn, giới hạn hàm số, hàm số liên tục, bảng đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm, tiếp tuyến và ý nghĩa vật lí của đạo hàm.

Giới hạn, hàm số liên tục và đạo hàm là kiến thức lớp 11 làm nền cho toàn bộ chương ứng dụng đạo hàm và tích phân lớp 12. Đề tốt nghiệp ít khi hỏi riêng giới hạn, nhưng bảng đạo hàm, phương trình tiếp tuyến và ý nghĩa vật lí của đạo hàm (vận tốc, gia tốc) xuất hiện thường xuyên trong các câu đúng/sai và trả lời ngắn. Tính đạo hàm sai một dấu là mất trọn câu khảo sát hàm số.

Kiến thức trọng tâm

Giới hạn của dãy số

Giới hạn cơ bản: $\lim\dfrac{1}{n^k} = 0$ ( $k$ nguyên dương); $\lim q^n = 0$ khi $\lvert q\rvert < 1$ ; $\lim c = c$ .
Dạng $\dfrac{\infty}{\infty}$ của phân thức: chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $n$ ở mẫu. Nếu bậc tử bằng bậc mẫu, giới hạn bằng tỉ số hai hệ số cao nhất.
Cấp số nhân lùi vô hạn ( $\lvert q\rvert < 1$ ): $S = u_1 + u_1q + u_1q^2 + \dots = \dfrac{u_1}{1 - q}$ .

Giới hạn của hàm số

$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = L$ khi và chỉ khi $\lim\limits_{x \to x_0^{+}} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^{-}} f(x) = L$ .
Hàm đa thức, phân thức (tại điểm thuộc tập xác định): thay trực tiếp $x = x_0$ .
Dạng $\dfrac{0}{0}$ : phân tích tử và mẫu thành nhân tử chung $(x - x_0)$ rồi rút gọn; có căn thì nhân với biểu thức liên hợp.
Tại vô cực: $\lim\limits_{x \to \pm\infty}\dfrac{c}{x^k} = 0$ ; phân thức cùng bậc có giới hạn bằng tỉ số hệ số cao nhất.
Giới hạn vô cực: $\lim\limits_{x \to x_0^{+}}\dfrac{1}{x - x_0} = +\infty$ , $\lim\limits_{x \to x_0^{-}}\dfrac{1}{x - x_0} = -\infty$ .

Hàm số liên tục

$f$ liên tục tại $x_0$ khi $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ .
Hàm đa thức, phân thức, lượng giác, mũ, lôgarit liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
Nếu $f$ liên tục trên $[a; b]$ và $f(a)\cdot f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $(a; b)$ .

Đạo hàm và ý nghĩa

f'(x_0) = \lim_{x \to x_0}\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.

Ý nghĩa hình học: $f'(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại $M_0(x_0; f(x_0))$ . Phương trình tiếp tuyến:

y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0).

Ý nghĩa vật lí: chuyển động có phương trình $s = s(t)$ thì vận tốc tức thời $v(t) = s'(t)$ , gia tốc tức thời $a(t) = v'(t) = s''(t)$ .

Tiếp tuyến của đồ thị

y = x^3 - 2x^2 + 1

tại

M(2; 1)

có hệ số góc

f'(2) = 4

Quy tắc và bảng đạo hàm

Quy tắc: $(u \pm v)' = u' \pm v'$ ; $(uv)' = u'v + uv'$ ; $(ku)' = ku'$ ; $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ ; hàm hợp $y = f(u(x))$ có $y' = f'(u)\cdot u'(x)$ .

Hàm số sơ cấp	Đạo hàm	Hàm hợp ( $u = u(x)$ )	Đạo hàm
$x^{n}$	$nx^{n-1}$	$u^{n}$	$nu^{n-1}\cdot u'$
$\sqrt{x}$ ( $x > 0$ )	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$\sqrt{u}$	$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
$\sin x$	$\cos x$	$\sin u$	$u'\cos u$
$\cos x$	$-\sin x$	$\cos u$	$-u'\sin u$
$\tan x$	$\dfrac{1}{\cos^2 x}$	$\tan u$	$\dfrac{u'}{\cos^2 u}$
$\cot x$	$-\dfrac{1}{\sin^2 x}$	$\cot u$	$-\dfrac{u'}{\sin^2 u}$
$e^x$	$e^x$	$e^u$	$u'e^u$
$a^x$	$a^x\ln a$	$a^u$	$u'a^u\ln a$
$\ln x$ ( $x > 0$ )	$\dfrac{1}{x}$	$\ln u$	$\dfrac{u'}{u}$
$\log_a x$ ( $x > 0$ )	$\dfrac{1}{x\ln a}$	$\log_a u$	$\dfrac{u'}{u\ln a}$

Đạo hàm cấp hai: $f''(x) = \left(f'(x)\right)'$ .

Dạng bài thường gặp trong đề thi

Dạng 1: Giới hạn dãy số, cấp số nhân lùi vô hạn

Xem lời giải

a) Chia tử và mẫu cho $n^2$ : $\lim\dfrac{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}}{2 + \frac{5}{n^2}} = \dfrac{3}{2}$ .

b) $0{,}2727\dots = 0{,}27 + 0{,}0027 + \dots$ là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1 = 0{,}27$ , $q = 0{,}01$ :

S = \dfrac{0{,}27}{1 - 0{,}01} = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}.

Dạng 2: Giới hạn hàm số

Xem lời giải

a) Dạng $\dfrac{0}{0}$ : $\dfrac{(x - 2)(x - 3)}{x - 2} = x - 3 \to -1$ .

b) Nhân liên hợp: $\dfrac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3} = \dfrac{(x + 1) - 4}{(x - 3)\left(\sqrt{x + 1} + 2\right)} = \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + 2} \to \dfrac{1}{4}$ .

c) Chia tử và mẫu cho $x$ : $\dfrac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{3}{x}} \to 2$ .

Dạng 3: Hàm số liên tục

Xem lời giải

$\lim\limits_{x \to 2}\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim\limits_{x \to 2}(x + 2) = 4$ . Hàm số liên tục tại $x = 2$ khi $f(2) = m = 4$ .

Dạng 4: Tính đạo hàm theo quy tắc

Xem lời giải

a) $y' = \dfrac{2(x - 3) - (2x + 1)}{(x - 3)^2} = \dfrac{-7}{(x - 3)^2}$ .

b) $y' = 3\cos(3x - 1)$ .

c) $y' = 2x\,e^{x^2}$ .

d) $y' = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ .

Dạng 5: Vận tốc, gia tốc — câu đúng/sai (phần II)

Xem lời giải

a) Đúng. $v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9$ .

b) Sai. $v(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0 \Leftrightarrow t = 1$ hoặc $t = 3$ : hai thời điểm.

c) Sai. $a(t) = v'(t) = 6t - 12$ , nên $a(3) = 6\,\text{m/s}^2$ .

d) Đúng. $v(t)$ là hàm bậc hai có hệ số $3 > 0$ , đạt nhỏ nhất tại $t = \dfrac{12}{2\cdot 3} = 2$ với $v(2) = -3\,\text{m/s}$ (vật đang chuyển động ngược chiều dương).

Dạng 6: Phương trình tiếp tuyến (phần III)

Xem lời giải

$y(2) = 8 - 8 + 1 = 1$ ; $y' = 3x^2 - 4x \Rightarrow y'(2) = 4$ .

Tiếp tuyến: $y = 4(x - 2) + 1 = 4x - 7$ . Cho $y = 0$ : $x = \dfrac{7}{4} = 1{,}75$ .

Lỗi thường gặp

Mẹo làm bài

Tự kiểm tra nhanh

Tính $\lim\dfrac{1 - 2n}{n + 4}$ .

Xem đáp án

Chia tử và mẫu cho $n$ : $\dfrac{\frac{1}{n} - 2}{1 + \frac{4}{n}} \to -2$ .

Tính $\lim\limits_{x \to -1}\dfrac{x^2 - 1}{x + 1}$ .

Xem đáp án

$\dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1} = x - 1 \to -2$ .

Tính đạo hàm của $y = x^3 - 2\sqrt{x}$ trên $(0; +\infty)$ .

Xem đáp án

$y' = 3x^2 - \dfrac{2}{2\sqrt{x}} = 3x^2 - \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ .

Tính đạo hàm cấp hai của $y = \cos 2x$ .

Xem đáp án

$y' = -2\sin 2x$ ; $y'' = -4\cos 2x$ .

Tính tổng $1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dots$

Xem đáp án

Cấp số nhân lùi vô hạn $u_1 = 1$ , $q = \dfrac{1}{3}$ : $S = \dfrac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \dfrac{3}{2}$ .

Kiểm tra lại kiến thức vừa ôn

Làm 10 câu luyện tập về giới hạn, hàm số liên tục và đạo hàm và xem lời giải ngay sau mỗi câu.

Luyện tập ngay

Đề có câu hỏi về chủ đề này

ĐỀ SỐ 10Trung bình Thành viên

Toán — Đề ôn luyện số 10

Đề trung bình, tăng câu nhận biết: đọc bảng biến thiên và đồ thị hàm bậc ba, máy bay chạy đà cất cánh, hai đèn chiếu sân khấu trong Oxyz, ném phạt hai lần với xác suất có điều kiện, góc nhị diện trong hình chóp đáy chữ nhật, áp phích tiết kiệm giấy, bể bơi đáy dốc, mái kính nhà chờ xe buýt và bài toán nhập hàng điện máy.

22 câu · 90 phút