Kiến thức trọng tâmLớp 11

Quan hệ vuông góc trong không gian

Đường thẳng vuông góc mặt phẳng, định lí ba đường vuông góc, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị diện, khoảng cách và thể tích khối chóp, lăng trụ.

Quan hệ vuông góc trong không gian (lớp 11) thường có 1 câu ở phần I (góc hoặc thể tích) và 1 câu ở phần III (khoảng cách, góc nhị diện, thể tích trong tình huống thực tế). Mọi bài đều quy về cùng một kĩ năng: tìm được một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng. Bài này hệ thống lại các định lí cần dùng và cách "dựng" góc, khoảng cách trên hình chóp quen thuộc.

Kiến thức trọng tâm

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Điều kiện: nếu $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(P)$ thì $d \perp (P)$ . Khi đó $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ .
Định lí ba đường vuông góc: cho đường thẳng $a$ nằm trong $(P)$ và đường thẳng $b$ không vuông góc với $(P)$ , $b'$ là hình chiếu vuông góc của $b$ trên $(P)$ . Khi đó $a \perp b \Leftrightarrow a \perp b'$ .
Hai mặt phẳng vuông góc: $(P) \perp (Q)$ khi $(P)$ chứa một đường thẳng vuông góc với $(Q)$ . Nếu $(P) \perp (Q)$ theo giao tuyến $\Delta$ thì mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ và vuông góc với $\Delta$ đều vuông góc với $(Q)$ .
Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

Góc

Góc	Cách xác định	Khoảng giá trị
Giữa hai đường thẳng $a$ , $b$	Góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm, lần lượt song song với $a$ , $b$	$[0^\circ; 90^\circ]$
Giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$	Góc giữa $d$ và hình chiếu $d'$ của nó trên $(P)$	$[0^\circ; 90^\circ]$
Góc nhị diện $[M, \Delta, N]$	Lấy $O \in \Delta$ ; kẻ $Ox \perp \Delta$ trong nửa mặt phẳng chứa $M$ , $Oy \perp \Delta$ trong nửa mặt phẳng chứa $N$ ; góc phẳng nhị diện là $\widehat{xOy}$	$[0^\circ; 180^\circ]$

Khoảng cách

Khoảng cách	Cách tính
Từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$	Độ dài $MH$ với $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $(P)$
Giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ song song	Khoảng cách từ một điểm bất kì của $a$ đến $(P)$
Giữa hai mặt phẳng song song	Khoảng cách từ một điểm của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia
Giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ , $b$	Độ dài đoạn vuông góc chung; hoặc, nếu $a \parallel (P)$ với $(P) \supset b$ , bằng $d\left(a, (P)\right)$

Thể tích

Khối	Công thức ( $S$ : diện tích đáy, $h$ : chiều cao)
Khối chóp	${V = \dfrac{1}{3}S\cdot h}$
Khối lăng trụ	${V = S\cdot h}$
Khối hộp chữ nhật	${V = abc}$
Khối chóp cụt đều (đáy $S$ , $S'$ )	${V = \dfrac{h}{3}\left(S + S' + \sqrt{SS'}\right)}$

Diện tích đáy hay dùng: tam giác đều cạnh $a$ là $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ ; tam giác vuông là nửa tích hai cạnh góc vuông; hình vuông cạnh $a$ có đường chéo $a\sqrt{2}$ .

Dạng bài thường gặp trong đề thi

Các Dạng 1–4 dùng chung hình chóp sau: $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = a$ , $AD = a\sqrt{3}$ , $SA \perp (ABCD)$ và $SA = 2a$ . Mô hình dưới đây vẽ đúng hình chóp này (lấy $a = 2$ ) cùng đoạn $AH \perp SB$ .

Hình học không gian xoay được

Xoay hình để thấy BC vuông góc với cả AB và SA, nên AH (nằm trong mặt SAB) vuông góc với mặt phẳng SBC

Đang chuẩn bị mô hình…

Dạng 1: Chứng minh quan hệ vuông góc

Xem lời giải

$BC \perp AB$ (đáy là hình chữ nhật) và $BC \perp SA$ (vì $SA \perp (ABCD)$ ). Hai đường thẳng $AB$ , $SA$ cắt nhau tại $A$ và nằm trong $(SAB)$ , nên $BC \perp (SAB)$ .

Mặt phẳng $(SBC)$ chứa $BC$ vuông góc với $(SAB)$ , nên $(SBC) \perp (SAB)$ .

Dạng 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị diện (phần I)

Xem lời giải

$AC$ là hình chiếu của $SC$ trên $(ABCD)$ , nên góc cần tìm là $\widehat{SCA}$ . Ta có $AC = \sqrt{a^2 + 3a^2} = 2a$ , $\tan\widehat{SCA} = \dfrac{SA}{AC} = \dfrac{2a}{2a} = 1$ , nên góc bằng $45^\circ$ .

Theo Dạng 1, $BC \perp (SAB)$ nên $BC \perp SB$ và $BC \perp AB$ : góc phẳng nhị diện $[S, BC, A]$ là $\widehat{SBA}$ . $\tan\widehat{SBA} = \dfrac{SA}{AB} = 2$ , nên số đo $\approx 63{,}4^\circ$ .

Dạng 3: Khoảng cách

Xem lời giải

Kẻ $AH \perp SB$ ( $H \in SB$ ). Vì $BC \perp (SAB)$ nên $BC \perp AH$ . Vậy $AH \perp SB$ và $AH \perp BC$ , suy ra $AH \perp (SBC)$ :

\begin{aligned} \dfrac{1}{AH^2} &= \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AB^2} \\ &= \dfrac{1}{4a^2} + \dfrac{1}{a^2} = \dfrac{5}{4a^2} \\ \Rightarrow d\left(A, (SBC)\right) &= AH = \dfrac{2a\sqrt{5}}{5}. \end{aligned}

$AD \parallel BC$ nên $AD \parallel (SBC)$ , mà $SC \subset (SBC)$ . Do đó

\begin{aligned} d(AD, SC) &= d\left(AD, (SBC)\right) \\ &= d\left(A, (SBC)\right) = \dfrac{2a\sqrt{5}}{5}. \end{aligned}

Dạng 4: Tổng hợp — câu đúng/sai (phần II)

Xem lời giải

a) Đúng. Xem Dạng 1.

b) Sai. Hình chiếu của $SC$ trên đáy là $AC = 2a$ (đường chéo, không phải cạnh), $\tan\widehat{SCA} = 1$ nên góc bằng $45^\circ$ (Dạng 2).

c) Đúng. Xem Dạng 3.

d) Sai. $V = \dfrac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SA = \dfrac{1}{3}\cdot a\cdot a\sqrt{3}\cdot 2a = \dfrac{2\sqrt{3}a^3}{3}$ (quên hệ số $\dfrac{1}{3}$ sẽ ra $2\sqrt{3}a^3$ ).

Dạng 5: Thể tích trong tình huống thực tế (phần III)

Xem lời giải

$S = 60^2 = 3600\,(\text{cm}^2)$ , $S' = 40^2 = 1600\,(\text{cm}^2)$ , $\sqrt{SS'} = 2400\,(\text{cm}^2)$ .

\begin{aligned} V &= \dfrac{30}{3}(3600 + 1600 + 2400) \\ &= 76\,000\,(\text{cm}^3) = 76\,(\text{dm}^3). \end{aligned}

Lỗi thường gặp

Mẹo làm bài

Tự kiểm tra nhanh

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $a$ , cạnh bên $a\sqrt{2}$ , $O$ là tâm đáy. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy, và thể tích khối chóp.

Xem đáp án

$SO \perp (ABCD)$ nên góc giữa $SA$ và đáy là $\widehat{SAO}$ . $OA = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ , $\cos\widehat{SAO} = \dfrac{OA}{SA} = \dfrac{1}{2}$ , góc bằng $60^\circ$ .

$SO = \sqrt{2a^2 - \dfrac{a^2}{2}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$ , $V = \dfrac{1}{3}a^2\cdot\dfrac{a\sqrt{6}}{2} = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{6}$ .

Tính thể tích khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ và $AA' = a\sqrt{3}$ .

Xem đáp án

$V = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{3} = \dfrac{3a^3}{4}$ .

Với hình chóp $S.ABCD$ ở các Dạng 1–4, tính khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(SBC)$ .

Xem đáp án

$AD \parallel (SBC)$ nên $d\left(D, (SBC)\right) = d\left(A, (SBC)\right) = \dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$ .

Vẫn với hình chóp đó, góc nhị diện $[S, CD, A]$ có góc phẳng là góc nào? Tính số đo (làm tròn đến hàng phần mười của độ).

Xem đáp án

$CD \perp AD$ và $CD \perp SA$ nên $CD \perp (SAD)$ , suy ra $CD \perp SD$ . Góc phẳng là $\widehat{SDA}$ với $\tan\widehat{SDA} = \dfrac{2a}{a\sqrt{3}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$ , số đo $\approx 49{,}1^\circ$ .

Kiểm tra lại kiến thức vừa ôn

Làm 10 câu luyện tập về quan hệ vuông góc trong không gian và xem lời giải ngay sau mỗi câu.

Luyện tập ngay

Đề có câu hỏi về chủ đề này

ĐỀ SỐ 01Trung bìnhLàm thử miễn phí

Toán — Đề ôn luyện số 1

Đề bám sát cấu trúc đề thi tốt nghiệp 2025–2026: hàm phân thức có tiệm cận xiên, chuyển động tính bằng tích phân, tọa độ Oxyz với drone và mái che, xác suất có điều kiện qua bộ lọc thư rác, tối ưu chi phí và quy hoạch tuyến tính.

22 câu · 90 phút

ĐỀ SỐ 02Cơ bảnLàm thử miễn phí

Toán — Đề ôn luyện số 2

Đề cơ bản để làm quen cấu trúc đề thi: đọc đồ thị, cực trị và giá trị nhỏ nhất của hàm số, nguyên hàm – tích phân cơ bản, tọa độ trong phòng học, xác suất có điều kiện theo tỉ lệ phần trăm, cùng các bài toán thực tế ngắn về diện tích, tối ưu và sản xuất.

22 câu · 90 phút

ĐỀ SỐ 03Nâng caoLàm thử miễn phí

Toán — Đề ôn luyện số 3

Đề nâng cao, nhiều câu phân hóa: đọc đồ thị đạo hàm, hàm số mũ, hai xe đuổi nhau, bóng nắng trong Oxyz, xét nghiệm hai lần theo công thức Bayes, khoảng cách giữa hai đường chéo nhau, tối ưu máng nước và chi phí khẩu phần nhỏ nhất.

22 câu · 90 phút