Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Thay từng cặp vào vế trái:

Chỉ $(0; 0)$ là nghiệm. Chú ý $(1; 2)$ nằm trên đường thẳng bờ nên không thỏa mãn bất phương trình nghiêm ngặt.

Thay $O(0; 0)$ vào $x + y \le 6$ và $2x + y \le 8$ đều thỏa mãn, nên miền nghiệm là phần chứa $O$, nằm trong góc phần tư thứ nhất: tứ giác $OABC$ như hình.

Các đỉnh: $O(0; 0)$; $A(4; 0)$ (giao $2x + y = 8$ với $Ox$); $C(0; 6)$ (giao $x + y = 6$ với $Oy$); $B$ là giao của $x + y = 6$ và $2x + y = 8$: trừ vế được $x = 2$, $y = 4$.

Vậy $\max F = 12$ tại $(0; 6)$ và $\min F = 0$ tại $(0; 0)$.

a) Đúng. $1 \ge 0$, $1 \ge 0$, $1 + 1 = 2 \le 6$, $2 + 1 = 3 \le 8$.

b) Đúng. Tứ giác $OABC$ với bốn đỉnh $(0; 0)$, $(4; 0)$, $(2; 4)$, $(0; 6)$.

c) Sai. $F$ đạt lớn nhất bằng $12$ tại $(0; 6)$; số $10$ là giá trị tại $(2; 4)$ — lỗi khi chỉ thử giao điểm của hai đường "khó" mà bỏ qua các đỉnh trên trục.

d) Đúng. $G$ tại bốn đỉnh lần lượt bằng $0$; $12$; $2$; $-6$, nhỏ nhất là $-6$ tại $(0; 6)$.

Gọi $x$, $y$ là số xe loại A, loại B được thuê ($x$, $y$ nguyên, $0 \le x \le 5$, $0 \le y \le 4$). Ràng buộc:

• Chở đủ người: $30x + 20y \ge 120 \Leftrightarrow 3x + 2y \ge 12$;
• Chở đủ hàng: $x + 2y \ge 8$.

Chi phí cần nhỏ nhất: $F = 4x + 3{,}5y$ (triệu đồng).

Các đỉnh của miền nghiệm: $\left(\dfrac{4}{3}; 4\right)$, $(2; 3)$, $\left(5; \dfrac{3}{2}\right)$, $(5; 4)$, với $F$ lần lượt bằng $\dfrac{58}{3} \approx 19{,}33$; $18{,}5$; $25{,}25$; $34$.

$F$ nhỏ nhất bằng $18{,}5$ tại $(2; 3)$, đây cũng là cặp số nguyên nên thỏa mãn yêu cầu. Thuê 2 xe loại A và 3 xe loại B, chi phí thấp nhất là $18{,}5$ triệu đồng.

$3\cdot 2 + 2\cdot(-1) = 4 < 5$ nên không phải nghiệm.

Thay $O(0; 0)$: $0 \le 2$ đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $x + y = 2$ chứa $O$; bất phương trình không nghiêm ngặt nên miền nghiệm chứa cả đường thẳng bờ.

Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh $(1; 1)$, $(4; 1)$, $(1; 4)$; $F$ lần lượt bằng $5$; $11$; $14$. Vậy $\max F = 14$, $\min F = 5$.

Trên miền nghiệm là đa giác lồi, các đường mức $ax + by = k$ là những đường thẳng song song; khi tịnh tiến đường mức theo hướng $F$ tăng (hoặc giảm), điểm cuối cùng còn chạm miền nghiệm luôn là một đỉnh (hoặc cả một cạnh chứa đỉnh đó).