Áp suất khí theo mô hình động học phân tử

Chủ đề này nối "thế giới phân tử" với các đại lượng đo được $p$, $T$. Đề thường có 1–2 câu ở phần I (động năng trung bình tỉ lệ với $T$, so sánh tốc độ phân tử của hai khí) và hay xuất hiện một câu trả lời ngắn tính động năng trung bình, tốc độ căn quân phương hoặc mật độ phân tử. Công thức ít nhưng dễ nhầm đơn vị khối lượng.

Kiến thức trọng tâm

Vì sao chất khí gây áp suất

Mỗi phân tử khí va chạm đàn hồi với thành bình: thành phần vận tốc vuông góc với thành đổi chiều, nên mỗi lần va chạm phân tử truyền cho thành một động lượng $2mv_x$. Vô số va chạm liên tiếp tạo nên một lực trung bình gần như không đổi lên mỗi đơn vị diện tích thành bình — đó là áp suất của khí.

Lập luận cho bình lập phương cạnh $L$: thời gian giữa hai lần phân tử đập vào cùng một thành là $\dfrac{2L}{v_x}$, nên lực trung bình do một phân tử tác dụng lên thành là $\dfrac{2mv_x}{2L/v_x} = \dfrac{mv_x^2}{L}$. Cộng cho $N$ phân tử và dùng $\overline{v_x^2} = \dfrac{1}{3}\overline{v^2}$ (chuyển động hỗn loạn, không có phương ưu tiên) ta được công thức áp suất.

Công thức áp suất chất khí

Vì $\mu m = \rho$ (khối lượng riêng của khí) nên còn viết $p = \dfrac{1}{3}\rho\overline{v^2}$.

Động năng phân tử và nhiệt độ

So sánh với $pV = nRT$ ta được:

• $k$ là hằng số Boltzmann; $R = 8{,}31\,\text{J/(mol·K)}$, $N_A = 6{,}02\cdot10^{23}\,\text{mol}^{-1}$.
• Động năng tịnh tiến trung bình của phân tử chỉ phụ thuộc nhiệt độ tuyệt đối, không phụ thuộc loại khí. Ở cùng nhiệt độ, phân tử hydrogen và phân tử oxygen có cùng $\overline{W_\text{đ}}$.
• Nhiệt độ tuyệt đối là số đo động năng trung bình của chuyển động nhiệt.

Hai hệ quả hay dùng:

$v_\text{rms}$ là tốc độ căn quân phương (căn bậc hai của trung bình bình phương tốc độ). Ở cùng nhiệt độ, khí có khối lượng mol nhỏ thì phân tử chuyển động nhanh hơn: $\dfrac{v_1}{v_2} = \sqrt{\dfrac{M_2}{M_1}}$.

Trong mô phỏng dưới đây, chọn Tự do rồi thay đổi số phân tử $N$, nhiệt độ $T$, thể tích $V$: áp suất đo được (từ động lượng truyền cho thành) luôn tỉ lệ với $\dfrac{NT}{V}$, đúng như $p = \mu kT$. Khi tăng $T$, biểu đồ phân bố tốc độ dịch sang phải.

Dạng bài thường gặp trong đề thi

Dạng 1: Suy luận tỉ lệ theo nhiệt độ

Xem lời giải

$v_\text{rms} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}} \sim \sqrt{T}$; $T$ tăng 4 lần thì $v_\text{rms}$ tăng $\sqrt{4} = 2$ lần. Chọn C.

A là lỗi nhầm với động năng trung bình (động năng mới tăng 4 lần).

Dạng 2: Tính động năng tịnh tiến trung bình (trả lời ngắn)

Xem lời giải

$T = 300\,\text{K}$; $\overline{W_\text{đ}} = \dfrac{3}{2}kT = 1{,}5\cdot1{,}38\cdot10^{-23}\cdot300 = 6{,}21\cdot10^{-21}\,\text{J}$.

Đáp số: 6,21.

Dạng 3: Tốc độ căn quân phương

Xem lời giải

1. Đổi $M = 0{,}028\,\text{kg/mol}$ (bắt buộc), $T = 300\,\text{K}$.
2. $v_\text{rms} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}} = \sqrt{\dfrac{3\cdot8{,}31\cdot300}{0{,}028}} \approx 517\,\text{m/s}$.

Nếu để $M = 28$ sẽ ra khoảng $16\,\text{m/s}$ — sai vì không đổi gam sang kilôgam.

Dạng 4: Liên hệ áp suất với khối lượng riêng

Xem lời giải

Từ $p = \dfrac{1}{3}\rho\overline{v^2}$:

$$v_\text{rms} = \sqrt{\frac{3p}{\rho}} = \sqrt{\frac{3\cdot10^{5}}{1{,}2}} = 500\,\text{m/s}$$

Bài này không cần biết nhiệt độ hay loại khí.

Dạng 5: Mật độ phân tử từ $p = \mu kT$

Xem lời giải

$$\begin{gathered} \mu = \frac{p}{kT} = \frac{1{,}0\cdot10^{-6}}{1{,}38\cdot10^{-23}\cdot300} \\ \mu \approx 2{,}4\cdot10^{14}\,\text{m}^{-3} \end{gathered}$$

$1\,\text{cm}^3 = 10^{-6}\,\text{m}^3$ nên mỗi $\text{cm}^3$ còn khoảng $2{,}4\cdot10^{8}$ phân tử — "chân không" vẫn còn hàng trăm triệu phân tử trong mỗi centimet khối.

Dạng 6: So sánh hai khí ở cùng nhiệt độ (đúng/sai)

Xem lời giải

a) Đúng. $\overline{W_\text{đ}} = \dfrac{3}{2}kT$ chỉ phụ thuộc $T$; hai khí cùng nhiệt độ.

b) Sai. Cùng động năng, phân tử nhẹ hơn chuyển động nhanh hơn; helium nhẹ hơn argon nên nhanh hơn.

c) Đúng. $\dfrac{v_\text{He}}{v_\text{Ar}} = \sqrt{\dfrac{M_\text{Ar}}{M_\text{He}}} = \sqrt{10} \approx 3{,}16$.

d) Sai. $T$ tăng 2 lần thì $v_\text{rms}$ tăng $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ lần.

Lỗi thường gặp

Mẹo làm bài

Tự kiểm tra nhanh

1. Phải nung khí từ $300\,\text{K}$ tới bao nhiêu kelvin để tốc độ căn quân phương của phân tử tăng gấp đôi?

Xem đáp án

$v \sim \sqrt{T}$ nên $T$ phải tăng 4 lần: $1200\,\text{K}$.

2. Động năng tịnh tiến trung bình của phân tử khí ở $327\,^\circ\text{C}$ ($k = 1{,}38\cdot10^{-23}\,\text{J/K}$)?

Xem đáp án

$\dfrac{3}{2}\cdot1{,}38\cdot10^{-23}\cdot600 \approx 1{,}24\cdot10^{-20}\,\text{J}$.

3. Khí có mật độ phân tử $2{,}5\cdot10^{25}\,\text{m}^{-3}$ ở $290\,\text{K}$. Áp suất của khí?

Xem đáp án

$p = \mu kT = 2{,}5\cdot10^{25}\cdot1{,}38\cdot10^{-23}\cdot290 \approx 1{,}0\cdot10^{5}\,\text{Pa}$.

4. Giữ nguyên thể tích bình, đun nóng khí. Giải thích theo mô hình động học vì sao áp suất tăng.

Xem đáp án

$T$ tăng → phân tử chuyển động nhanh hơn: mỗi va chạm truyền động lượng lớn hơn và số va chạm vào thành trong mỗi giây nhiều hơn, nên áp suất tăng (đúng với $p = \mu kT$, $\mu$ không đổi).

5. Nếu mật độ phân tử tăng gấp đôi còn động năng trung bình của phân tử giảm một nửa thì áp suất khí thay đổi thế nào?

Xem đáp án

$p = \dfrac{2}{3}\mu\overline{W_\text{đ}}$: tích $\mu\overline{W_\text{đ}}$ không đổi nên áp suất không đổi.